Перед тем, как изучать научный метод и построение физических моделей, нам надо договориться о том, как именовать предметы, с которыми мы будем работать и под одинаковыми словами подразумевать одинаковые предметы.

Физическими телами называют любые объекты, которые выгодно рассматривать как одно целое.

Расстоянием между телами мы будем называть кратчайшую линию, которая соединяет некоторые специальные точки этих тел, которые используются для измерения расстояний до этих тел. Эти точки мы выбираем сами, они могут быть разными для разных случаев.

На рисунке линиями показаны расстояния от тела А до других тел, а закрашенными кружочками точки, до которых меряем расстояние до тела.

Определить расстояние можно линейкой. Линейка это прибор любой конструкции, который ставит в соответствие измеряемому расстоянию некоторое количество других расстояний, которые выбраны в качестве эталона. Величина расстояния, соответствующая одному эталону, принимается равной единице.

Существуют разные эталоны, мы будем пользоваться системой СИ, в которой единицей длины является метр, обозначается (м).

Численное измерение расстояний позволяет упорядочить все возможные расположения тел в пространстве. Мы получаем возможность не только сказать, что одно тело ‘дальше’, ‘ближе’ или ‘совпадает’ с другим телом, но и указать точно, как именно разделены тела.

Давайте построим самую первую физическую модель, для этого применим уже рассмотренный прием – абстракцию, который приводит к умышленному упрощению реальности, отбрасыванию маловажных для данной задачи свойств.

Как видно из рисунка, при определении расстояний до тел, мы реальными геометрическими размерами тел пренебрегаем, используем только одну точку тела. Это возможно по той причине, что нам, в этой задаче определения расстояния до тела, безразлично какую форму имеет реальный объект, т.к. расстояние до тела может быть только одно, т.е. до некоторой точки тела.

Поэтому, для задачи определения расстояний, тела на рисунке могут быть заменены точками, до которых мы измеряем расстояние. Возможно, что для рассмотрения некоторых других событий с этими телами нам также достаточно будет только таких точек. Существуют задачи, в которых такая замена невозможна и геометрия тела имеет значение для анализа и результата решения задачи.

Модель реального тела, при которой его геометрия нам безразлична и мы используем при работе с ним только одну его некоторую точку, называется материальной точкой.

Можно на этом примере заметить некоторые свойства моделей реальности. Модель является более общей (слово в значении противоположность конкретной, частной) чем та реальность, которую она заменяет. Это значит, что все свойства реальности, которые не входят в модель, не влияют на результат использования модели, что приводит к тому, что одна модель может описывать происходящее для разных конкретных случаев реальности.

В нашем примере, модель с материальными точками может описать расстояния до шаров, или расстояния до кубов, или расстояния до фигур произвольной формы.

Поэтому модель можно представить как некоторый шаблон, который подходит для разных специализаций реальности. Особенно это заметно для математических моделей, которые имеют одинаковый вид (например, система уравнений выглядит одинаково) для, казалось бы, совсем не связанных между собой событий, например: колебания груза на шнурке и прием телепрограмм.

Если у нас есть система тел, т.е. несколько тел, то можно говорить о том, что они каким-то образом взаимно расположены друг относительно друга и можно говорить о положении тела в системе.

Если наши тела расположены на одной прямой, то положением тела можно считать расстояние, которое измерено линейкой от этого тела до некоторой произвольной точки на этой прямой. Такое расстояние называют координатой тела, начальную точку для измерения называют началом отсчета, а прямую - осью координат.

На рисунке ось координат Х, координаты тел А и В соответственно 0 и 2.45. Обычно, на экспериментальных рисунках, где есть ось координат, которые выполнены на бумаге с координатной сеткой (клеточки в тетради или миллиметровая бумага), эта ось именуется (х); на ней отмечается единица измерения (м), указывается множитель (*); указывается масштаб, размер этой единицы на рисунке (одна вертикальная черточка под цифрой "один"). На рисунках не отмечаются отдельные числа отдельных измерений, указываются только их точки, иногда их буквенно-цифровые имена, а результаты измерений записываются в отдельную таблицу. Подробнее об этом далее.

В общем случае, для описания положения тела используют систему координат, которая однозначно определяет положение тела в системе.

Если тела в системе тел расположены на плоскости или в трехмерном пространстве, то положением тела можно считать его дву- или трехмерные координаты относительно произвольно взятой точки этой плоскости или пространства в произвольно расположенных осях прямоугольной (ортогональной) системы координат.

Система координат не всегда связана с прямыми осями координат, и координатой тела может, например, быть расстояние от пункта А до пункта В вдоль извилистой дороги.

На рисунке точки А, В, 1, 2 и 3 на кривой, соединяющей точки А и В, могут быть определены одной координатой, вдоль кривой Р, или двумя координатами Х и Y каждая.

Движение тела – изменение положения тела относительно других тел, которые мы считаем неподвижными. Неподвижные тела называются телами отсчета.

Система отсчета служит для описания движения тела, в нее входят тела отсчета. Система отсчета также может включать в себя и систему координат. Про эти тела отсчета и систему координат говорят, что они связаны с этой системой отсчета или наоборот, систем отсчета связана с ними.

Выбор тел отсчета и систем отсчета произвольный, т.к. он никак не оговаривается в определении движения, но обычно выбирают такую систему отсчета, в которой движение тела имеет наиболее простой вид.

То, что выбор системы отсчета произвольный, говорит о том, что движение и его вид зависит от системы отсчета, говорят, что движение относительно. Это очень важное утверждение.

Можно выбрать систему отсчета, в которой движение тела будет не только самое простое, но и совсем отсутствует (например, система отсчета, связанная с самим телом), что находится в противоречии с бытовым представлением о движении, как об абсолютном явлении, существующем само по себе, безотносительно чего-либо.

В верхней половине рисунка наблюдатель О видит два тела А и В, движущимися относительно него самого. Закрашены тела в момент столкновения.

В нижней половине рисунка тот же наблюдатель О, помещенный на тело В и имеющий в своем распоряжении для наблюдения только тела А и В, будет считать, что тело В покоится, а тело А движется ему на встречу или наоборот, что тело А покоится, а он сам движется по направлению к телу А. Никаких причин у наблюдателя утверждать, что оба тела вместе движутся, у него не будет.

Точно также, глядя в окно поезда только лишь на окно вагона соседнего состава, обнаружив движение, бывает трудно определить какой состав его начал или они оба вместе плавно тронулись от станции. Чтобы это определить, надо посмотреть на ориентир, связанный с землей и остающийся неподвижным, как движутся вагоны относительно него.

Поводом считать движение абсолютным является рассуждение наблюдателя, что если два тела сталкиваются, то сталкиваются и никаким выбором системы отсчета этого не избежать. Это верно. Далее, наблюдатель делает вывод, что если он видит два таких тела движущимися, то они движутся, и никаким выбором системы отсчета этого не избежать. Это уже неверно.

Таким образом, просто утверждать, без указания системы отсчета, что тела в системе движутся или все встречающиеся тела одновременно движутся, нельзя, это бессмысленно из соображений того, как мы определили движение. Хотя и есть система отчета, в которых тела движутся, но есть и системы отсчета, в которых тела, может быть, не одновременно, находятся в покое.

Механикой называется раздел физики, который изучает движение тел и некоторые виды взаимодействий между телами, которые связаны с движением.

Кинематика – раздел механики, который изучает движение без учета причин его вызывающего.

Динамика – раздел механики, который изучает взаимодействие тел, после которых их движение изменяется.

Статика – частный случай динамики, при котором взаимодействие движущихся тел есть, но движение не происходит, например, равновесие тела на весах.

Задачей механики является получение закона (функции) движения тела, который позволяет выяснить положение тела в любой момент в прошлом, настоящем и будущем по отношению к некоторому произвольному событию (что-либо произошло), например, событию того, что вы читаете эти строки. Что такое функция мы рассмотрим далее.

Обычно получение закона движения является задачей анализа, в которой на основе некоторых данных о теле надо построить весь закон движения.

Изучая основы кинематики и пытаясь выяснить основные параметры движения, мы, если это не оговорено отдельно, будем использовать естественную систему отсчета, такую систему, которую интуитивно человек принимает за неподвижную.

Обычно неподвижной считается Земля и все предметы, которые неподвижны относительно нее, являются телами отсчета. Так как система отсчета одна единственная, то все особенности изменения движения в зависимости от выбора системы отсчета, нам учитывать нет необходимости.

Ранее уже упоминалось, что положение тела на плоскости можно описать с помощью прямоугольной системы координат, при этом положение тела можно характеризовать парой чисел, координатами.

Положение тела на плоскости также можно задать с помощью вектора. Вектор – направленный отрезок прямой, у него есть начальная точка и конечная точка (обозначается стрелочкой), также для вектора имеет значение его длина.

Величины, которые выражаются с помощью векторов, называют векторными, они отличаются от скалярных, которые выражаются обычными числами.

С помощью векторов легко на рисунке, только с помощью геометрических построений, производить сложение и вычитание величин, которые выражены в виде векторов, длина которых равна значению величины.

Также с помощью векторов компактно записывают системы независимых уравнений. Пусть мы хотим не геометрически, а в числах складывать и вычитать векторные величины.

В самом простом случае вектора расположены на одной прямой и направление вектора определяет только знак: (+) или (-), соответствующей вектору и равной его длине, скалярной величины.

Одно направление вдоль этой прямой, произвольно взятое от начала отсчета, считается положительным, а противоположное – отрицательным. Если направление вектора не совпадает с направлением прямой, значение скалярной величины берется со знаком (-).

Таким образом, такой вектор позволяет записать не только значение величины, но и ее знак и наглядно показать этот знак на рисунке.

Вектор, как угодно расположенный на плоскости в прямоугольной системе координат, всегда можно представить как сумму ортогональных векторов, как говорят, проекций вектора на оси, каждая из которых параллельна одной из осей координат.

Расчеты с каждой проекцией независимы друг от друга (принцип независимости движения) и для двух векторных величин расчеты с их проекциями на одинаковую ось происходят как в самом простом случае векторов, расположенных на одной прямой.

С помощью одного вектора можно выразить систему, группу скалярных величин и решение компактно записанного уравнения с применением векторных величин эквивалентно решению системы из нескольких таких же, но обычных скалярных уравнений, каждое из которых записано для своей проекции вектора.

эквивалентно системе

Положение тела можно обозначить вектором, который исходит из начала отсчета, его еще называют радиус-вектором.

На рисунке точка О – начало отсчета, точки А и В – разные положения одного тела.

Начальное положение тела (точка А) на рисунке обозначено вектором . Конечное положение тела (точка В) – вектором . По правилам геометрии, разность между этими векторами - есть тоже вектор, на рисунке он обозначен .

Знак(дельта) служит для обозначения разности двух величин.

Траектория движения, это линия, вдоль которой движется тело.

Пройденный путь, или просто путь, это длина траектории.

Перемещение, это расстояние между двумя положениями тела, до и после движения.

На рисунке вектор является перемещением тела из точки А в точку В. Путь и перемещение не всегда совпадают: на рисунке тело в первом случае прошло путь , который совпадает с перемещением , а во втором случае путь , который не совпадает с перемещением .

Перемещение тела является векторной величиной, в отличие от пути, который всегда является величиной скалярной.

Это происходит оттого, что перемещение связано с положением тела, а путь - только с длиной траектории и если путь выразить с помощью направленной прямой, то такой вектор не будет иметь реального геометрического смысла, т.к. никак не соотносится с реальной траекторией, которая может быть произвольной кривой.

Также перемещение показывает направление изменения положения, уменьшилась или увеличилась величина расстояния до тела, т.е. даже в самом простом случае перемещение имеет знак, а путь всегда имеет знак (+), т.к. может только возрастать или оставаться неизменным.

Достаточно ясно, что тела могут двигаться не одинаковым образом.

Рассмотрим пример. Возьмем два одинаковых шарика и совместно запустим их по двум дорожкам одинаковой длины S с разным усилием. Они достигнут концов дорожек не совместно, сначала один, затем другой. Такой опыт легко провести дома.

Возьмите два одинаковых предмета, которые не испытывают сильного сопротивления воздуха, например, два одинаковых карандаша. Подстелите на пол подушку или что-нибудь мягкое.

Возьмите по предмету в каждую руку и поднимите руки на одну высоту. Один предмет просто отпустите над подушкой, другой дополнительно толкните рукой.

Вы увидите, что предмет, который вы толкнули, существенно раньше упадет на подушку. И делать он это будет всегда, сколько бы раз вы не повторили этот эксперимент.

У вас могут возникнуть сомнения по отношению к точности этого эксперимента. В этом случае, вы можете провести более опыт лучше, для него будут нужны два шарика, например, от крупного подшипника и бумага. Старый подшипник или шарики к нему можно попросить в гаражах.

Возьмите достаточно жесткий альбомный лист бумаги формата А4 и согните его поперек короткой стороны буквой W, т.е. пополам и каждую половинку еще пополам.

Положите лист так, что сверху в центре получится одна канавка, а две с нижней стороны листа. Эта центральная канавка будет дорожкой, по которой будут двигаться тела.

Чтобы было легче фиксировать отличия в движении тел, листы можно будет склеить, чтобы удлинить дорожку. Нам нужно будет две одинаковых дорожки.

В конце дорожек можно положить что-нибудь, чтобы тела не разлетались и можно было бы услышать окончание движения. Запустите по этой дорожке оба шарика вместе с разными усилиями.

Для того чтобы изменять усилия для движения шарика и иметь возможность запускать шарик повторно, с одним и тем же усилием, можно изготовить простейшую разгонную бумажную горку, высота которой может изменяться по необходимости.

Для этого согните лист тонкого и жесткого картона поперек длинной стороны два раза так, чтобы по середине листа осталась маленькая площадка (на ней лежит шарик 1).

Со стороны площадки, на которую шарик не будет съезжать, наклейте из бумаги буртик (2). Также наклейте две полоски из бумаги (3) на сторону (4), по которой будет скатываться шарик, так, чтобы катясь между ними, он попадал на нашу дорожку.

На концах листа отогните маленькие уступы (5), чтобы горку можно было одним концом подсунуть под дорожку, а на другой конец положить груз (6) для фиксации высоты горки.

Плоскость (4), по которой скатывается шарик, может принимать значения углов от 10 до примерно 50 градусов. При углах больших 50 шарик начинает ударяться о дорожку и зависимость изменения характера движения от угла наклона нарушается.

Поэтому плоскость (4) может быть достаточно длинной, чтобы плавно изменять характер движения, либо предусмотреть плавный переход шарика в горизонтальное движение.

Таким образом, два одинаковых тела в нашем опыте совместно начали движение, но в конечную точку пути эти два тела прибыли не вместе. Значит, они двигались различным образом. Почему? Было что-то именно в самом их движении, а не во внешних причинах, из-за чего они двигались различно, ведь шарики и пути одинаковы.

Но чтобы понять это 'нечто', из-за чего они двигались различно, нам надо уметь описать движение более точно, как именно 'не вместе' прибыли два тела. Для этого надо уметь упорядочивать события по такому признаку, как именно они следуют друг за другом.

Заметим, что события в природе происходят не всегда совместно, возможно, что сначала происходит одно, затем другое.

Чтобы сравнить между собой два разных движения и точно описать их различия нам надо уметь сравнивать разные события не только так, что одно произошло 'раньше', 'позже' другого или 'совместно' с ним, но и количественно.

Для этого каждому событию можно поставить в соответствие некоторое число эталонных событий, произошедших от события, принятого за начало отсчета.

Эталонными событиями может быть любое периодическое (повторяющееся) событие или процесс, например, регулярный восход солнца или колебания маятника.

Пройденным временем, или просто временем, называют количество повторов некоего периодического (повторяющегося) события, т.е. число этих событий, которое подсчитано от начала отсчета времени. За начало отсчета времени принимают одно из этих эталонных событий, взятое произвольно.

В системе единиц СИ, которой мы будем пользоваться, эталонным событием считается секунда, обозначается (с).

Устройство, которое подсчитывает число этих событий или их долей, т.е. подсчитывает время, называется в механике часами, независимо от их конструкции. Система отсчета может включать в себя часы.

Численное измерение времени позволяет упорядочить все происходящие друг за другом события абсолютно аналогично тому, как численное измерение расстояний приводит к упорядочиванию всех возможных положений событий (тел).

С помощью времени, любому событию мы можем поставить в соответствие некоторое число. Это позволяет сортировать, путем простых операций над числами, разные события не только как то, что одно из них произошло 'раньше', 'позже' или 'совместно' с другим, но и точно сравнивать между собой паузы между разными событиями, т.е. указать, как именно разделены события.

Например, произошло три события: А, В и С. В момент А часы показывали 5 (с), в момент В – 7 (с), в момент С – 12 (с). Легко увидеть, что между событиями А и В времени прошло меньше, чем между В и С и интервал времени АВ короче.

Таким образом, все события мы можем описывать двумя параметрами: местом, где произошло событие и временем, в момент которого это событие произошло. Эти два параметра позволяют точно и однозначно определить любое событие.

Пространство и время являются наблюдаемыми свойствами реальности, для подтверждения которых есть хорошие и наглядные примеры.

Теперь мы можем сравнивать разные движения тел, которые проходят путь одинаковой длины, с помощью времени, которое было затрачено на это движение. А почему сравнение движений помогает описать 'нечто', из-за чего тела движутся различно?

Пример со сравнением двух движений позволил нам обнаружить, что есть что-то именно в самом движении, а не во внешних причинах, из-за чего одинаковые тела двигаются различно.

Попытка описать эти отличия уже привела нас к понятию времени. Также оказывается, что сравнение двух движений, когда одно из них самое простое, т.е. отсутствует, превращается в описание движения.

Т.е. сравнение движений уже привело нас к возможности описывать движение из этого примера с помощью времени.

Вспомним, что нам, решая задачу механики, надо получить закон движения, т.е. уметь указать положение тела в любой момент времени.

Если предположить, что тело не изменяет характер своего движения во времени и мы знаем, что на прохождение пути в 2 метра тело тратит 5 секунд, то мы можем указать положение тела в моменты времени, кратные целым числам этих секунд, т.е. в 5, 10, 15, 20 и т.д. до бесконечности (с). Это будут расстояния 2, 4, 6, 8 и т.д. до бесконечности (м). И наоборот, в этих точках пути сможем указать количество пройденного времени.

Это уже неплохо, хотя сказать где будет тело между этими интервалами времени, даже в таком простом виде движения, мы пока не можем. Продолжим сравнивать движения.

Говорят, что одно тело движется быстрее другого, если на прохождение одного и того же пути это тело тратит меньше времени.

Заметим, что сравнение любых движений только с помощью времени невозможно. Нам еще надо указывать и какой путь при этом проходит тело, т.е. для описания любого движения, на самом деле, требуется не один, а два параметра: время и расстояние.

Это не очень удобно. Действительно, что делать, если надо сравнить между собой разные движения на разных путях, т.е. тело в одном случае прошло 1 метр за 5 секунд, в другом случае 3 метра за 7 секунд. Как определить, какое из тел движется быстрее, каким образом привести эти значения к одному пути?

Также опять вспомним, что пример со сравнением двух движений позволил нам обнаружить, что есть что-то именно в самом движении, а не во внешних причинах, из-за чего одинаковые тела двигаются различно.

Надо выяснить, характеризуют ли время и расстояние именно само движение, либо они характеризуют как раз внешние, по отношению к конкретному движению, проявления реальности, не связанные с этим конкретным движением.

Как выяснить, характеризует ли некоторая физическая величина какой-то определенный процесс или событие? Одним из признаков, который позволяет это определить, является то, как определена эта физическая величина.

По определению расстояния и времени эти величины не характеризуют движение, а характеризуют то, где движется тело и то, как событие прохождения телом при движении некоторого пути соотносится со всеми остальными событиями в мире, поэтому описывать движение с помощью этих физических величин не очень хорошо.

С другой стороны, в зависимости от того, как движется тело, изменяются и эти величины: путь и время. Как тогда можно объяснить это изменение?

Вероятно, что искомое 'нечто', характеризующее движение (такой параметр не должен зависеть от чего-либо внешнего, кроме самого движения), каким-то образом может быть связано со значением пути и времени, может быть выражено через них.

Попробуем определить эту связь, но для начала рассмотрим один вспомогательный вопрос.

Существует одна характеристика для любой изменяющейся величины, которая имеет отношение не только к движению и нам следует обратить на нее внимание, ее называют скоростью.

Скорость – мера (размер, количество) изменения одной (характеризуемой) величины по отношению к другой величине, имеющей фиксированное значение. Чем больше изменяется характеризуемая величина, тем больше скорость.

Метр, например, служит мерой расстояния, а скорость аналогичным образом служит мерой изменения расстояния (или какой-то иной величины), и 'изменение величины' выступает в качестве того, что мы измеряем с помощью скорости.

Есть отличие между изменением расстояния, измеренным с помощью метра и изменения расстояния, измеренным с помощью скорости. Оно заключается в том, что метр является мерой, которая характеризует просто изменение величины, а скорость характеризует изменение величины по отношению к какой-то иной, постоянной величине.

Скорость позволяет упорядочить все изменения всех величин по отношению к тем или иным постоянным величинам, что дает возможность сравнивать между собой совершенно разные изменения для выяснения того, какая величина изменяется больше по отношению друг к другу.

Нас интересует не только то, что характеризуемая величина изменяется 'больше', 'меньше' или 'также' по отношению к какой-то другой величине (в том числе к самой простой, которая отсутствует), но и численное значение размера изменения. Каким образом поставить число в соответствие скорости, упорядочить разные скорости между собой по признаку размера изменения величины?

Вероятно, есть разные способы сделать это, но самый простой из них и принятый повсеместно состоит в том, чтобы считать скорость численно равной размеру изменения величины. Обратим внимание на то, что 'численно равный' не означает 'просто равный'.

Например, три груши не равны трем пакетам, это разные предметы, но число пакетов, в которые надо положить груши, численно равно числу груш, т.е. 'численно равный' говорит о том, что значение двух величин равно, но эти величины являются принципиально разными физическими объектами. Математическое выражение для операции 'численно равно' выглядит как волнистая черта ~ или волнистый знак равенства . Такие величины также называют пропорциональными.

Можно также проверить, что такой способ ставить числа в соответствие скорости не противоречит определению скорости: мера изменения равна нулю, когда изменения нет и возрастает с ростом изменения.

Вот простая иллюстрация всех этих слов в виде таблицы.

Если бы у нас не было скорости, мы не смогли бы провести сравнение изменения количества хлеба и пачек мыла между собой, например, продалось 3 штуки хлеба и 2 пачки мыла. Какой товар продали быстрее?

Для сравнения необходимо было бы указать дополнительно по отношению к какой, равной для обоих товаров величине, произошли продажи, т.е. для сравнения нам понадобилось бы пара величин, как для описания движения с помощью пути и времени. Этой дополнительной величиной могла стать группа покупателей (как в примере), интервал времени или что-либо еще.

Из последнего абзаца предыдущего вопроса становится ясно, что в качестве этого искомого 'нечто', которое характеризует движение (что мы обнаружили в самом движении, а не во внешних причинах), может быть использована скорость движения.

Скорость движения выражается через путь и время как скорость изменения пути за какой-то интервал времени, единый для всех видов движений. За такой единый интервал времени принято брать единицу времени, секунду.

Какими свойствами обладает скорость движения?

Скорость движения V численно равна пути S, который тело проходит при движении за единицу времени: VS.

Чем быстрее движется тело, тем больше его скорость и если тело не движется, то его скорость равна нулю. И из сравнения с определением того, когда одно тело движется быстрее другого, следует, что чем больше скорость, тем меньше времени тратится на прохождение одного и того же пути.

Но математическое выражение (математическую модель), связывающее скорость, путь и время мы пока не можем построить, например, время может быть обратно пропорционально скорости: V~1/t, но может и вычитаться из некоего большого числа A: V~(A-t);.

Рассмотрим такой вид движения, когда за любые равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, такое движение называют равномерным. Мы позже еще вернемся к необходимости слова 'любые' в этом определении и к этому виду движения, а пока обратим внимание вот на что.

Из определения скорости известно, что VS за единичный интервал времени t =1, а из определения равномерного движения - что любые пути S проходятся за равное время.

Получается, что на некоторый интервал пути S, равный целому числу n элементарных путей S (которые проходит тело за единицу времени) S= S * n (1), тело затратит некоторый интервал времени t , равный некоторому целому числу n единичных интервалов времени t= t * n=1 * n (2).

Тогда можно указать связь между произвольным интервалом пути S, равным целому числу элементарных путей S, и временем t, затраченным на его прохождение при таких условиях движения. Подставив в (1) значение n из (2), получим S= S *t, а т.к. V численно равна S, можно записать, что S= V *t или V=S /t (3).

Выражение (3) определяет численную связь между скоростью движения, пройденным путем и временем для таких условий движения (равномерное) и таких интервалов S, t. Скорость, которая выражается такой математической моделью (3), называется средней скоростью, обозначается Vcp.

Рассчитанное по выражению (3) значение средней скорости определено только для этих интервалов S, t и для иных значений этих интервалов скорость может быть иной, в зависимости от характера движения.

Единицей измерения средней скорости служит отношение единицы величины, изменение которой характеризует эта скорость к единице величины, относительно которой рассматривается измерение характеризуемой величины.

Для движения это (м/с) и хотя средняя скорость характеризует движение, она не имеет специального отдельного названия, а среднюю скорость в 1 м/с имеет тело, которое проходит путь в 1 метр за 1 секунду.

Означает ли факт того, что мы использовали размер интервала t равный единице при выводе (3) то, что мы можем рассчитать V по выражению (3) только для интервала времени равного, например, целому числу секунд (кратному секунде)? Нет.

Из определения скорости известно, что единица интервала времени является произвольно взятой, поэтому любой интервал времени t, соответствующий любому интервалу пути S, можно разбить на целое число каких угодно интервалов(тау), которые мы произвольно взяли за единичный.

Сделать это можно всегда, любым способом, например, на графике с помощью линейки и вычислить изменение пути S по отношению к этому единичному интервалу.

Как тогда перевести скорость, по отношению к этому единичному интервалу, в скорость, по отношению к единичному интервалу t в одну секунду?

Отметим на рисунке, где мы отмерили целое число , интервал времени t в одну секунду. Длины этих интервалов как-то соотносятся между собой.

Пусть длина t на рисунке равна 1 см, а длинаравна 0,35 см, тогда t=/ 0.35 .

Можно понять, что t исвязаны между собой как t =а * (4), где а – некоторое, не обязательно целое число, т.е. интервал времени t в одну секунду можно представить как некоторое, может быть не целое, число наших единичных интервалов.

Из (4) выразимчерез t и подставим это вt из (2), тогда получим t= 1 * n = * n = (интервал времени равный целому числу , для которого мы уже посчитали по (3) скорость , м/ ) = (t * n) / а = (1 * n) / а = n / а= (тот же интервал времени равный не обязательно целому числу секунд). Далее действуя аналогично тому, как мы получали (3), найдем скорость по отношению к секунде V= (а *S )/t = а * (м/с).

Средняя скорость также может быть рассчитана не только для путей, но и для перемещений. Поскольку перемещение может быть величиной векторной, т.е. представимой в виде системы независимо изменяющихся величин, то средняя скорость перемещения также может быть величиной векторной, также представимой. При этом каждый компонент вектора средней скорости перемещения рассчитывается аналогично средней путевой скорости.

Наконец то мы набрали некоторый минимальный набор понятий об изучаемых явлениях и выяснили основные параметры движения.

Это позволит нам использовать для обозначения событий и процессов существительные с вполне определенным смыслом что, в конечном итоге, позволит нам перейти к долгожданному составлению моделей и изучению научного метода.

Но пока поговорим о математике, с помощью которой мы будем описывать математические модели наших явлений.

Функцией называется правило (закон), по которому одной величине (аргументу) из области определения функции, ставится в соответствие одна единственная величина (результат, значение функции) из области значений. Обозначают функцию f(x)=y, где y – значение функции, x – аргумент, f – обозначение функции.

Описать правило можно разными способами:

При изучении движения мы часто будем интересоваться функциями, аргументом которых является время. Это объясняется тем, что решая задачу механики, надо получить закон движения, т.е. уметь указать положение тела в любой момент времени S(t).

Функцию называют неубывающей, если значение функции, подсчитанное для любого, произвольно взятого, аргумента, меньше или равно любому значению функциидля аргумента х большего, т.е. , если x >. Другими словами это означает, что если функция однажды достигла некоторого значения, то уже не может стать меньше этого значения. Пройденный путь является такой функцией.

Аналогично неубывающим, можно ввести невозрастающие функции. И те и другие называются монотонными.

Скорость движения, как основной параметр, характеризующий движение, тоже может зависеть от времени и мы будем рассматривать зависимость скорости от времени V(t).

Между любыми двумя точками на оси действительных чисел, т.е. чисел, которые могут принимать любые дробные значения, которые могут существовать и быть описаны, находится бесконечно много точек, например, в интервале [0; 1] можно взять интервал [0.5; 0.51], в нем [0.505; 0.5051] и так до бесконечности можно уточнять число.

Есть функции, в область определения которых входят все точки на некотором взятом интервале. Многие элементарные функции являются такими. Но бывают функции, которые определены только в некоторых точках из такого интервала. Средняя скорость является одной из таких функций.

Средняя скорость тоже может зависеть от времени и мы будем рассматривать зависимость средней скорости от времени Vcp(t).

Также интересно понятие модуля или абсолютного значения числа. Модуль обозначается вертикальными прямыми вокруг числа: | а | - модуль а.

Модуль это тоже функция, значение этой функции всегда больше или равно нулю, а ее правило выражается аналитически такой системой уравнений:

Если а 0; то | а | = а

Если а < 0; то | а | = -а

Средняя скорость может быть рассчитана с помощью аналитического выражения (3) не только для равномерного движения. Почему это возможно, если при получении выражения (3) мы пользовались фактом равномерности движения?

Рассмотрим график S(t) для двух произвольных движений.

Жирной кривой линией на этом графике показано изменение пути от времени для одного из них.

Рассмотрим два произвольных момента времени А и В (точки на оси t), за это время тело проходило некоторый путь S(A) и S(B) соответственно (точки на оси S(t) ).

Тонкой прямой линией на графике показано другое движение, которое тоже проходит через точки S(A) и S(B) в моменты времени А и В.

Этот график показывает, что изменение пути от времени может происходить по любому сложному закону, что выглядит на графике как сложная кривая, но в моменты времени А и В пройденный путь для многих разных кривых может составить одинаковое значение S(A) и S(B).

Таким образом, независимо от подробностей изменения пути от времени внутри некоторого интервала времени t, результат движения S на этом t можно характеризовать парой S, t.

Если для нас важен только результат какого-то движения S на этом интервале t, то с помощью выражения (3) мы можем характеризовать это движение средней скоростью Vcp на этом интервале.

Это означает, что если сложное изменение S на интервале t нас по каким-то причинам не интересует, мы можем заменить это сложное движение эквивалентным ему самым простым, которое приведет к такому же результату S на этом интервале t. Запомните этот интересный прием, мы его будем еще не раз использовать.

Вычисление средней скорости для сложного движения по выражению (3) означает, что мы интересуемся неким средним результатом действия этого движения на интервале, общим изменением пути, эквивалентным результату действия самого простого движения на этом интервале.

Физический смысл средней скорости заключается в том, что она характеризует изменение какой-то величины с точки зрения общего изменения этой величины на заданном интервале, которое не зависит от способа изменения этой величины.

Среднюю скорость можно найти на графике S(t).

На этом графике пара S, t образует две стороны для многих геометрических фигур, нас интересует прямоугольный треугольник. Например, в треугольнике с вершинами ОАК это стороны S =АК и t =ОА. Из выражения (3) их отношение S /t, равно средней скорости Vcp, а из геометрии отношение сторон прямоугольного треугольника равно тангенсу угла(бета).

Таким образом, на графике S(t), средняя скорость является тангенсом угла наклона прямой к оси времени (угол между этой прямой и осью t), соединяющей начальную и конечную точку пути на интервале времени. Чем больше скорость, т.е. тангенс угла, тем больше этот угол.

Рассмотрим график функции Vcp(t).

На нем изображено движение, при котором его характер (средняя скорость) известен на нескольких участках пути, на графике это участки ОА, ОВ и ОС.

Средняя скорость была определена с помощью выражения (3) для этих интервалов S, t.

Отметим отличие этих интервалов ОА, ОВ и ОС, которые необходимо взять для графика Vcp(t) от интервалов ОА, АВ и ВС, на которых тоже можно было бы вычислять среднюю скорость. Это отличие происходит оттого, что на таком графике t= t-0, т.е. одна из границ интервала t это всегда нулевой отсчет времени.

Как уже говорилось, средняя скорость определена только для данных значений S, t и во всех иных точках не известна. На графике этот факт отражен вертикальными жирными линиями в точках А, В и С. Нет никаких оснований как-либо соединять эти вертикальные линии друг с другом и во все точках, кроме А, В и С средняя скорость не определена, т.е. не существует.

Вот экспериментальная таблица, на основании которой был построен график Vcp(t).

Во втором и третьем столбце находятся пара значений S и t, полученные экспериментально, в четвертом столбце средняя скорость, которую мы вычислили по аналитическому выражению (3) для этой пары S, t.

Согласно (3), S=Vcp*t. На графике значения Vcp иt образуют стороны прямоугольника (они заштрихованы на графике) и из геометрии известно, что площадь такого прямоугольника рассчитывается так же, как S.

Поэтому, на графике Vcp(t) путь S(t), пройденный телом, можно видеть как площадь прямоугольника, образованная парой Vcp иt.

Таким образом, мы нашли геометрический смысл связи средней скорости, пути и времени.

По известному графику средней скорости видно, что, геометрически, вычисление пройденного пути сводится к вычислению площади, а по известному графику пути видно, что, геометрически, вычисление средней скорости сводится к вычислению тангенса угла наклона линии, соединяющей начальное и конечное значение пути на интервале.

Различают несколько видов движения, по следующим критериям:

Определение равномерного движения уже было дано, осталось рассмотреть значение слова 'любые' в этом определении.

На рисунке видно, что сравнивая равные интервалы пути S только за время OA и BC или только за время AB и CD, можно подумать, что движение равномерное, но сравнение интервалов OA и AB покажет, что это не так.

Из определения равномерного движения следует, что можно взять некоторый интервал времени, и для любого расположения этого интервала времени на оси t, значение пути должно быть одинаковым и зависящим только от размера этого взятого интервала.

Кажется, трудно себе представить, по каким соображениям вдруг могло появиться такое определение равномерного движения, но такое движение теоретически может существовать, а необходимость выделить такое движение среди всех остальных видов появилась в результате многочисленных экспериментов и первых попыток описать характеристики движения в целом, и, вероятно, были времена, когда равномерное движение определяли иначе.

В дальнейшем мы увидим, что описание неравномерного движения удобно строить на базе равномерного.

Криволинейное движение по сложной траектории можно представить как несколько прямолинейных движений, происходящих одновременно в нескольких ортогональных направлениях, т.к. радиус-вектор положения тела можно представить как проекции этого вектора на оси координат.

Поэтому мы будем рассматривать не просто равномерное, а еще и прямолинейное движение (РПД), хотя многое из этого будет относиться так же и к любому равномерному движению.

Заметим, что из (3) и определения равномерного движения следует, что для РПД средняя скорость Vср за любые равные интервалы одинакова.

Посмотрим, как изменяется Vср от времени t при РПД. Возьмем то же движение, что мы уже рассматривали на графике 2 в разделе "график средней скорости". Пусть движение, которое изображено на графике, такое, что на каждом из участков ОА, АВ и ВС оно является РПД.

Возьмем участок ОА и рассмотрим его на графике 3 отдельно, в увеличенном масштабе.

Как мы уже выяснили, для участка, на котором движение РПД, для любого момента времени, существует=.

Если аналогично тому, как мы полагали t = t – 0, считатьS = S(t) – S(0)S(t) =S + S(0) ,
то из (3) S = Vcp * t следует, что S(t) = * t + S(0)

Если до момента t = 0 тело уже прошло какой-то путь S(0)0 , то мы представляем S(t) как сумму S(0) и= S(t) – 0 , т.е. S(t) = S(0) + , раскладываем общее изменение пути S на две составляющие, на постоянную часть S(0), которая не изменяется после момента t = 0, и на переменную часть , к которой можно применить выражение (3). Запомните этот интересный прием разложения сложно изменяющейся величины на простые составляющие (их число может быть больше и они могут быть более сложными, чем в этом примере), мы тоже его будем еще не раз использовать.

Таким образом, путь S(t) при РПД описывается уравнением вида: y=k*t+b. Это уравнение прямой линии, y= S(t), b=S(0) – путь, пройденный до момента времени t=0, k==tg – тангенс угла наклона прямой S(t) к оси t , т.е. график S(t) при РПД – прямая линия, тангенс угла наклона которой к оси времени является средней скоростью .

В разделе "средняя скорость" мы заменяли на интервале сложное движение эквивалентным ему по общему результату действия на этом интервале самым простым движением, но не называли, какое движение можно считать самым простым.

Самым простым видом движения, очевидно, считать отсутствие всякого движения. Если же движение все-таки есть, то самое простое будет то, которое наименьшим образом изменяет состояние тел, которое было бы без этого движения.

В этом случае некоторые предполагают, что самым простым будет движение, при котором тело весь интервал времени находится в покое, а в конце интервала времени мгновенно переносится в конечную точку интервала. Но, в дальнейшем, мы увидим, что при кажущейся простоте, такое движение оказывается весьма и весьма сложным.

Для иллюстрации сложности этого движения можно привести такой пример.

Если взять и положить друг на друга два листа бумаги, взяться за нижний лист и медленно передвигать его, то оба листа будут двигаться, не изменяя своего взаимного расположения из начальной точки в конечную за некоторое время.

Если рассмотреть такую систему тел, состоящую из стола, по которому мы двигаем листы и самих листов, то в ней не изменится ничего, кроме того, что листы передвинутся.

Теперь попробуйте провести этот опыт, резко дергая нижний лист бумаги ближе к концу такого же интервала времени. Верхний лист слетит с нижнего, движение приведет к изменению системы большему, чем было при медленном движении.

Этот опыт показывает, что между лежащими друг на друге листами бумаги существует какая-то связь, которая сохраняется при медленном движении и состоянии покоя и нарушается из-за резкого движения, т.е. такое резкое движение, на самом деле, мало похоже на состояние отсутствия движения.

Позже, рассматривая взаимодействия, при которых тела изменяют свое движение, мы увидим, что самым простым оказывается такое движение, характер которого (скорость) не изменяется и не обязательно равна нулю, а таким и является равномерное движение.

Чтобы изучать движение дальше и выяснить про него все, что только можно, нам уже совершенно необходимо ознакомиться с некоторым математическим аппаратом для описания движения.

Также мы ознакомимся с тем, какие особенности имеют величины, с которыми работают при составлении физических и математических моделей.

Размерности – единицы измерения физических величин (метры, секунды и т.п.). Вот некоторые варианты использования размерностей.

Если мы хотим работать с реальностью и составлять модели для ее анализа, то нам надо уметь измерять параметры существующих объектов реальности, чтобы на их основе строить физические и математические модели и проводить количественный расчет.

Давайте посмотрим на обычную линейку. Минимальное расстояние между делениями на ней (цена деления) равно 1 мм.

С помощью такой линейки невозможно отличить два стержня, которые различаются меньше, чем на миллиметр, т.к. определение размера связано с изучением совпадения деления линейки с концом стержня и подсчет числа делений, уложившихся в измеряемую длину.

Если при измерении длины с помощью линейки, искомый размер находится между двумя делениями, то значение длины между делениями с помощью такой линейки точно выяснить нельзя, можно попытаться угадать "на глаз" сравнивая значение пустого места слева или с права, но разные люди по разному дадут такую оценку. Точное значение может гарантировать только совпадение измеряемой длины со штрихом.

Поэтому те размеры, которые находятся между делениями и выяснить которые с помощью линейки нельзя, округляют до ближайших делений. Чтобы не полагаться на субъективный критерий "к какому краю интервала между делениями ближе измеряемая длина", мы будем округлять эти значения вниз, т.е. если размер пересек одно деление, но не пересек следующее, то мы считаем этот измеряемый размер окончившимся на последнем делении, которое он пересек.

На этом рисунке три стержня разной длины левым концом приставлены к ровной опоре. С правой стороны стержней можно измерить разницу их длин, которая лежит в диапазонех =1 мм.

Эти стержни, представленные на рисунке, неотличимы друг от друга с помощью измерения их обычной линейкой.

Неточности измерения, вносимые инструментом и способом измерения, называют приборной погрешностью. В нашем случае приборная погрешностьх = 1 мм. Y идеального прибора х = 0, т.е. нет приборной погрешности.

Любое измерение с помощью реального прибора с х0 превращает плавно изменяющуюся на интервале величину в ступенчатую. Такой способ преобразования одной величины в другую называется дискретизацией, при этом бесконечное число значений на этом интервале заменяются конечным числом значений (выборок). Выборки могут быть расположены в этом интервале произвольным образом, у линейки способ один из самых простых – значения равноотстоят друг от друга черезх.

Посмотрим на это на графике, который показывает, как соотносятся между собой реальная и измеренная величина.

Пусть x – реальная измеряемая величина, а y=f(x) – измеренное значение этой величины с помощью прибора. Правило f(x) задается тем, как прибор измеряет величину.

Из опыта известно, что тела при нагревании изменяют свои геометрические размеры. Пусть мы измеряем стержень, температура которого изменяется.

При измерении с помощью идеального прибора измеренная величина точно равна реальной. На графике y=f(x) это прямая линия y=x проходящая под углом 45 градусов к оси x.

При измерении с помощью реального прибора с приборной погрешностьюx мы не можем определить характер изменения длины стержня от изменения температуры, если эти изменения лежат в пределах приборной погрешности.

Измеренное и реальное значение длины стержня будет совпадать только в моменты, когда длина стержня точно совпадает со штрихом линейки, при пересечении границx. На графике y=f(x) такие точки отмечены кружком на линии y=x. Между этими значениями измеренной величины, прибор показывает для разных x только одно значение y, получается ломаная линия похожая на ступеньки.

Можно задать вопрос о том, как вообще тогда можно говорить о каких то расчетах, которые могут иметь какое-то отношение к реальности, если наши инструменты для измерения вносят такие ошибки в измеряемые величины.

Оказывается, что для правильности расчета с измеренным значением важно не абсолютное значение ошибкиx , вносимой измерением, а то, какую величину x мы измерили с такой ошибкой.

• Например, измеряя расстояние по дороге между двумя городами, равное 100 километрам, вы ошиблись на 1 метр.

  Автомобиль по этой дороге двигается со средней скоростью 50 км/ч. По вашим расчетам, с помощью (3) можно выяснить время, когда автомобиль приедет из одного города в другой. Это время – два часа.

  Пусть автомобиль проедет на 1 метр больше, тогда на путь между городами в 100 км + 1 м он затратит 2 часа 0 минут 0,072 секунды. Если вы пришли встречать этот автомобиль на въезде в город, то он опоздает от рассчитанного вами времени на 0,072 секунды.

  Вы не заметите разницу и она не имеет никакого значения для целей расчета, для данной модели и ее назначения, в этом случае, говорят, что ошибка измерения пренебрежимо мала.

• Теперь предположим, что измеряя ширину стола, равную 2 метрам, вы ошиблись на 1 метр.

  Вы планировали расставить мебель в комнате и отвели для этого место размером 2 метра и 10 сантиметров, чтобы придвинуть стол к стене. При правильном измерении это бы получилось.

  Предположим, что вы измерили, что ширина стола равна 1 метру и вы ошиблись на 1 метр от реального размера в меньшую сторону. Затем вы отвели место размером 1 метр и 10 сантиметров, чтобы придвинуть двухметровый стол к стене. Подобная попытка не удалась бы.

Ошибка измерения существенно повлияла на цели расчета, в этом случае говорят, что ошибка измерения соизмерима с измеренной величиной.

Из этих примеров видно, что одна и та же погрешность проявляет себя по-разному, в зависимости от размера величины x, измеренной с такой погрешностью. Также влияние погрешности зависит от математической модели, от использования измеренной величины в вычислениях.

Если максимальное различие между измеренной и реальной величиной, погрешность не превышает x, то такую погрешность называют предельной. Мы оставим в стороне подробности изучения вопроса о технике вычислений с учетом погрешностей, но заметим, что при вычислении математической модели с участием измеренной величины, результат расчета может получить иную предельную погрешность.

Это можно увидеть на примере, складывая две измеренные величины 5,1+ 3,21 метров получим результат 8,31 метра. Предположим, что первая из измеренных величин имеет предельную (равную приборной) погрешность 0,1, а вторая 0,01, т.е. реальное значение лежит в интервале соответственно [5,1; 5,2] и [3,21; 3,22] метров. Реальное значение результата будет лежать в диапазоне [8,31; 8,42]. Предельная погрешность результата равна 0,11; что существенно, на порядок (примерно в десять раз), хуже, чем погрешность измерения числа 3,21.

Но даже без изучения ясно, что чем меньше величина погрешности, тем меньше ее влияние на результат расчета. Можно оценить то, когда погрешность можно считать пренебрежимо малой и пренебречь ею, а когда считать ее соизмеримой с измеренной величиной.

Одним их способов это сделать является вычисление того, во сколько раз измеренная величина x больше погрешностиx. Для этого можно одно поделить на другое. Есть два способа сделать это.

Один из них заключается в том, чтобы выяснить, как погрешностьx влияет на каждую единицу измеренной величины x, т.е. надо определить приборную погрешность, с которой будет измеряться каждая единица x, если все значение x измерено с приборной погрешностьюx, равномерно распределенной по всему измеренному значению x.

Такая погрешность называется относительной погрешностью, обозначаетсяx ( - тоже дельта, но прописная), она показывает, какая приборная погрешность приходится на единицу измеренной величины x.

Из нашего определенияx ясно, что она является долей, частьюx, которая приходится на единицу х, поэтому она связана с параметрами x и x так:

Приборная погрешность является абсолютной погрешностью, она показывает ошибку в числе единиц измеряемой величины и ее размерность совпадает с размерностью измеряемой величины.

Чем больше значение измеренной величины x по отношению к фиксированной погрешности x, тем меньше отличие реальной величины от измеренной, что согласуется с нашими примерами.

Для того чтобы выяснить правила работы с погрешностями, следует обратиться к математическому справочнику, здесь же мы просто изучим природу того, как реальность включается в модель путем измерения физических величин.

Расстояния, которые изменяются обычной линейкой, это: сантиметры, десятки сантиметров и метры. Приборная погрешность такого инструмента x = 1 мм даст относительную ошибку определения расстоянияx в размере 0,1; 0,01 и 0,001 от значения измеренной длины соответственно, т.е. ошибка в 10, 100 и 1000 раз меньше, чем измеренная длина.

Расчеты математических моделей в научно-инженерной практике традиционно ведутся не точнее чем до 3-го знака после запятой (= 0,001 значения), что вносит в результат дополнительную методическую ошибку расчета, связанную с этим округлением.

При определенных условиях, ошибка результата при расчете до трех знаков, от округлений после умножений и сложений может быть даже больше, чем погрешность от измерения, вызванная прибором. Приборной погрешностью тогда можно будет пренебречь, т.к. обнаружить ошибку от измерения в результатах вычисления будет невозможно.

В общем, ясно, что измеряемые величины должны быть много больше, чем приборная погрешность, тогда влияние этой погрешности не может быть обнаружено в практических расчетах.

Еще можно сделать довольно важное следствие, что несмотря на то, что мы никогда не сможем точно узнать реальное значение измеряемой величины, в любом случае (всегда), задавшись какой-то определенной конечной точностью результата (значения), внутри границ которой, отличия не имеют для данной физической модели никакого смысла (скажем, задавшись определением времени движения автомобиля между городами с точностью до 0,1 секунды), при правильном выборе инструмента для измерения и выборе точности расчета, в пределах этой физической модели будет невозможно обнаружить отличия, которые возникают из-за ошибок измерения и расчета, между результатами расчета с реальными или расчета с измеренными величинами.

Решая предлагаемые задачи, школьник обычно считает, что измерения и расчеты, сделанные на их основе, абсолютно точны. Это происходит оттого, что он часто и не подозревает об ошибках, которые вносят измерения и расчеты.

Мы же уже выяснили, что можно задаться некоторой точностью, в пределах которой можно игнорировать эти ошибки и фактически признавали, что получаемый нами результат всегда содержит некоторую ошибку, отличие от идеальной модели, которым мы пренебрегаем. Тогда получается, что физика и математика, как точные науки, на самом деле занимаются приближенными и неточными расчетами.

Оказывается, что мнение невежественного школьника совершенно верное, несмотря на то, что мы даже не можем точно измерить время и расстояние, а наше мнение о неизбежно вносимой в результат расчета ошибке, неправильное. Как это возможно?

Попробуем обнаружить случаи, при которых расчет (за исключением принципиального отличия модели от реальности, которое устранить нельзя) во всем остальном будет абсолютно не отличаться от идеального, даже если мы используем неточные измеренные величины.

Пусть у нас функция реального изменения пути от времени S(t) задана графически (плавная жирная кривая).

Пусть наши часы имеют приборную погрешность t = 1 (с). Это значит, что информации о состоянии времени внутри этого интервалаt мы не имеем.

Совершенно аналогично тому, как мы измеряли расстояние линейкой, мы можем заменить плавную кривую пути S(t) ее ступенчатым приближением (тонкая ломаная линия на графике 1).

Рассмотрим один интервалt из этого графика 1 в увеличенном масштабе на новом графике

; .

Из-за погрешностиt на графике 1 момент времени по нашим часам для нас словно застывает и растягивается в интервал , момент времени =t растягивается в интервал , …, момент времени = n *t растягивается в интервал .

На интервалеt мы можем взять любую точку на оси t, что соответствует некоторому моменту реального времении узнать по графику в нем значение пути S(), но у нас нет никакой информации о том, как точно расположить эту точкус помощью наших часов в пределах интервалаt , т.к. состояние времени в пределахt нам неизвестно.

Некоторые возразят, что можно оценить то, как много времени прошло в пределах интервала в одну секунду и без часов, но это значит лишь то, что у нас есть более точные часы, по которым мы ориентируемся, но по условию у нас таких часов нет.

На графике (2) мы взяли некую точкуи реальную кривую заменили горизонтальной прямой шириной вt, т.к. весь интервалt для нас это один момент времени, в который путь может иметь некоторое определенное значение. Из графика ясно, что значение S() зависит от выбора точки, из всех возможных комбинаций S() и на интервалеt, истинное сочетание пути и времени достигается в точкахкратныхt, т.е. = n * t, при n=0,1,2,… - целое.

В принципе, мы можем рассмотреть на графике все точки из интервала t и в каждой из них выяснить значение пути S(t).

В этом случае, каждая точкана этом интервале даст значение пути S() в виде горизонтальной линии шириной t и мы получим закрашенный прямоугольник со сторонами S, t . График 3 демонстрирует эти изменения для графика 2.

Если выбирать каждую точкудруг за другом, то сохранится их упорядоченность как раньше/позже.

Тогда предположим, что жирной линией описывается какое-то периодическое, повторяющееся движение, вид этой линии мы не знаем и изучаем это движение так, что за много опытов, в каждый период этого движения, каким-то произвольным образом выбираем точкуи измеряем пройденный путь S().

В этом случае упорядочить между собой разныенет никакой возможности, и закрашенность прямоугольника на графике 3 означает, что для нас тело, может находиться за интервалt в любой точке пути в пределах S, т.е. линия пройденного пути на этом графике может пройти через любую точку этого закрашенного прямоугольника.

Нам известно, что каждое значение S из этого прямоугольникаS, t будет пройдено, т.к. считаем, что при движении, последовательные изменения положения тела образовали некоторую линию, вдоль которой двигалось тело, и тело побывало во всех точках этой линии, а пройденный путь – длина этой линии, т.е. тело прошло все точки пути.

Но мы не можем упорядочить эти значения во времени за интервалt, т.е. будет допустима любая неубывающая кривая (вспомним, что функция S(t) неубывающая), которая проходит через все значения S этого прямоугольника и не выходит за его пределы. Примеры таких линий представлены на графике 4.

Глядя на эти кривые можно сразу вспомнить график, который мы использовали для вывода средней скорости. Там мы выяснили, что нас не интересует характер изменения пути на интервале, на котором мы вычисляем среднюю скорость, а интересует только общее изменение пути за этот интервал.

Очень важно заметить, что при вычислении средней скорости абсолютно никакой погрешности не вносится, хотя точное изменение пути на интервале, где мы вычисляли среднюю скорость, нам не известно, но эта информация о подробностях изменения функции не является необходимой за пределами интервала ее изменения.

Такой интервал (S) изменения значения физической величины (S), на котором характер (закон) измерения этой величины (S(t)) нам неизвестен, но безразличен и может быть доопределен произвольным образом (обычно самым простым), назовем физически малым интервалом или физически однородным интервалом.

Заметим, что мы не накладываем никаких требований к тому, как ведет себя изменяющаяся на этом интервале функция, чтобы интервал мог бы считаться физически малым, условием его физической малости является только факт важности для нас исключительно итогового результата изменения функции на нем, а не подробностей изменения функции, которые можно доопределить произвольно. Например, для вычисления средней скорости любой интервал пути, на котором она вычисляется, является физически малым.

Но важно другое, что расчеты для любой физической величины, в которые построены на правильном использовании физически малых интервалов, по аналогии со средней скоростью являются абсолютно точными, несмотря на незнание подробностей. Именно этим обоснована правота невежественного школьника.

Особенный интерес среди всех видов физически малых интервалов представляют собой случаи, когда важны не только начальное и конечное значение физической величины на физически малом интервале, но и то, что возможное изменение физической величины за этот интервал ограничено некоторым значением.

Назовем такой интервал ограниченным физически малым интервалом, условием его физической малости является не только факт важности итогового результата изменения функции на нем, но и ограниченность на нем функции.

Именно ограниченное изменение физической величины за этот интервал является причиной считать этот интервал физически малым, что позволяет нам не интересоваться, как именно происходит изменение, а учитывать только результат изменения.

Функция, которая описывает ограниченный физически малый интервал, является ограниченной на этом интервале. Функция f(x) называется ограниченной на интервале(омега), если для любого значения аргументаиз, значение f()A, где A – некоторая постоянная величина, число.

Рассмотрим наш закрашенный прямоугольник из графика 3. Можно заметить по графику, что функция S(t) на интервалеt является ограниченной значением S, это также можно объяснить из тех соображений, что S(t) является неубывающей функцией, S() S(S). В нашем примере с закрашенным прямоугольником А=S.

Далее под физически малым интервалом мы часто будем подразумевать его ограниченный вариант.

Одно из важных качеств ограниченного физически малого интервала в том, что есть конкретное условие (ограниченность), которое не зависит от вида физической величины и позволяет только по виду функции (аналитическая формула, график), независимо от реальной природы физической величины, работать с ограниченным физически малым интервалом: искать его, проводить расчет с ним и т.д. Позже мы увидим, как это делается.

Закрашенность прямоугольника на графике 3 означает, что разница между измеренным и реальным значением пути за интервалt не превысит высоту прямоугольникаS, т.е. математически это выглядит так:

, при

3. Непрерывные функции.

4. Интерполяция.

Ознакомимся с видами разрывов, которые можно получить, попытавшись записать отрицание определения непрерывной функции: найдется такойS, при котором нет подходящего t.

Разрыв первого рода мы уже рассмотрели, а на этом графике представлен разрыв второго рода. Точки разрыва называют особыми точками.

В зависимости от условий модели, бывает возможным разделить функцию с точками разрыва на интервалы, на каждом из которых функция непрерывна.

Мы уже выяснили, что ступенчатую кривую можно аппроксимировать некоторой непрерывной кривой. Для ограниченного сколь угодно малого физически малого интервала такая кривая единственная, но для каждого фиксированного интервала, в пределах

S существует много разных кривых, проходящих через область, удовлетворяющую условиям физической малости интервала.

Эта область заштрихована на рисунке, она ограничена кривыми, которые представляют совой единственную, поднятую и опущенную на S / 2. Задача проведения кривой по нескольким известным ее точкам называется интерполяцией. Отличие от аппроксимации в том, что аппроксимация может проводиться не обязательно с помощью интерполяции.

Интересно и рассмотрение спектрального состава ступенчатой функции.

В математике показано, что многие кривые могут быть представлены в виде суммы гармонических (т.е. синусоидальных и косинусоидальных) составляющих с разными частотами и амплитудами. Такие составляющие называются гармониками. Функция, значением которой является амплитуда такой составляющей в зависимости от частоты, называется спектром. Возможно и обратное построение функции по ее спектру. Такие преобразования называют преобразованиями Фурье.

Спектр ступенчатой функции выглядит так, что составляющие, которые формируют разрывы, имеют высокую частоту, поэтому нужный вид функции можно получить, построив спектр ступенчатого сигнала, отбросив высокочастотные гармоники и по новому спектру создав функцию.

Этот прием частотного разделения имеет много иных применений, например, для функции, состоящей из правильных значений и случайных помех, в спектральном представлении помехи легко отделяются. Узнать про преобразование Фурье больше можно по адресу http://grizlyk1.narod.ru/my/8.htm#t02 .

5. Необходимые и достаточные условия.

Но если функция не является непрерывной, то это не значит, что для нее невозможно, в данном конкретном случае, найти подходящийt. Также можно задать вопрос о том, а есть ли еще функции, которые не являются непрерывными, но для них тоже всегда возможно найти подходящийt.

Рассмотрим использование необходимых и достаточных условий в логике, в операции вида: если "условие", то "событие". Например, для движения машины по перекрестку со светофором, есть условия: "горит зеленый свет", " сзади нет машин " и "двигатель заведен"; есть действие "можно ехать".

• Если "горит зеленый свет и двигатель заведен и сзади нет машин ", то "можно ехать".

  Такое условие является достаточным, т.к. при его выполнении ехать можно, но ехать можно и тогда, когда условие не выполняется, например, сзади есть машины.

  Достаточное условие не обязательно выглядит избыточным, как в этом примере, оно просто не охватывает всех случаев, при котором все же "можно ехать", т.е. могут существовать и иные условия, при которых "можно ехать".

• Если "горит зеленый свет ", то "можно ехать"

  Такое условие является необходимым, т.е. таким, без выполнения которого движение невозможно, но не достаточным, т.к. двигатель может быть не включен.

• Если "горит зеленый свет и двигатель заведен ", то "можно ехать".

  Такое условие является необходимым и достаточным, т.е. таким, без выполнения которого движение невозможно и при выполнении которого ехать можно.

  Необходимое и достаточное условие позволяет обратить условное высказывание, т.е. при нем справедливо: Если "можно ехать", то "горит зеленый свет и двигатель заведен ".

  Необходимое и достаточное условие это пограничный вариант, при котором меньше условий будет недостаточно, а больше не будет необходимо.

• Если "сзади нет машин ", то "можно ехать".

  Такое условие является ни необходимым, ни достаточным.

В нашем случае непрерывность функции для того, чтобы, найти подходящийt является

• достаточным условием в конкретном случае физически малого интервала,
• необходимым и достаточным для ограниченного физически малого интервала,
• необходимым, для использования производной, о которой мы еще поговорим.

4. Завершаем кинематику.

1. Мгновенная скорость.

1. Отличие мгновенной скорости от средней.

Я напомню, что для изучения научного метода нам нужны хорошие и легко проверяемые примеры. Понять научный метод, прямо в процессе его применения к какой-то нужной нам на практике прикладной задаче, будет трудно. По этой причине мы и изучаем научный метод на примере физических задач.

Впоследствии мы увидим, что математические модели, имеющие физически ясный смысл скорости, пути и времени, подходят для описания любых взаимосвязанных изменяющихся величин. И если применение научного метода в какой-то прикладной области должно привести к конкретным результатам в виде чисел, а не к абстрактным предположениям, то обойтись без этих стандартных математических моделей, которые, в частности, связывают скорость, путь и время, невозможно.

Благодаря тому, что мы уже узнали про измерение физических величин и аппроксимацию их изменений, понимание средней скорости не вызовет у нас совсем никаких трудностей.

Рассмотрим тот же график пути, на котором мы изучали среднюю скорость.

На этом графике, путь S(В) равен 6 метрам и тело затрачивает на это время ОВ=15 секунд.

Предположим, что это двигался огромный железнодорожный состав длиной в километр, а мы наблюдали это движение издалека, смотря перпендикулярно этому движению.

С большого удаления нам было бы трудно зарегистрировать даже сам факт движения, если бы пройденный путь был, скажем, размером в 1 миллиметр, не то что измерить его точно. Пусть мы находится так далеко, что пройденный при этом движении путь, который мы еще можем заметить, равен одному метру.

Мы всегда на практике можем сделать таким образом: взять длинный и прямой участок пути на ровной местности, поместить на него состав и отойти так далеко, что вбитые через расстояние 1 метр колышки будут нам казаться расположенными очень близко друг от друга.

Я веду к тому, что расстояние в один метр для состава в один километр для данной задачи будет являться физически малым интервалом, подробности движения на расстоянии меньше метра мы даже и не увидим.

Затем, по секундомеру, мы можем отметить моменты времени, когда состав при этом движении пересекает каждый колышек и занести эти результаты в таблицу соответствия пути и времени. На нашем графике эти моменты происходят тогда, когда линия графика пути пересекает каждое деление по вертикальной оси S.

Теперь, для каждого участка пути этого движения размером в один метр, мы можем вычислить среднюю скорость по выражению (3). Оказывается, что такая средняя скорость, которая вычисляется на физически малых интервалах пути, называется мгновенной скоростью или просто скоростью.

На большом графике будет трудно нарисовать мгновенную скорость, поэтому рассмотрим отдельно первые два метра пути этого графика в увеличенном масштабе.

Закрашенными квадратами на жирной кривой линии пути отмечены точки, когда тело проходило путь кратный одному метру.

Тонкими прямыми показаны углы, тангенс каждого из которых является мгновенной скоростью, которая является средней на физически малом интервале.

Жирной пунктирной линией отмечен угол, тангенс которого равен средней скорости за путь в два метра.

Рассмотрим некоторую произвольно взятую в середине интервала пути точку X. В этой точке можно подсчитать среднюю скорость Vcp(), тонкой пунктирной линией показан угол, тангенс которого равен средней скорости в этой точке.

Мгновенная скорость V( ) определена как средняя скорость на физически малом интервале, а из свойства физической однородности такого интервала, на нем мы можем доопределять неизвестный характер движения произвольным образом, а именно, считать движение равномерным. Из свойства равномерного движения известно, что средняя скорость при таком движении постоянна и равна средней скорости на этом физически малом интервале, т.е. равна мгновенной скорости.

Заметим, что эти скорости подсчитаны для разных интерваловt. Средняя Vcp( ) дляt = – 0; мгновенная V( ) для другогоt, для физически малого интервала. Можно ли численно сравнить их между собой?

Они обе являются мерами изменения одной и той же величины (пути) по отношению к одной и той же единице другой величины (времени). Значит их сравнение в этом смысле физически корректно, и можно сказать, на сколько одна скорость больше другой и, значит, на сколько изменение пути от одной скорости больше, чем от другой, но вот расположение этих путей различно и связь этих скоростей с пройденным в точке Х путем S() различна. Мгновенная скорость V(t) и пройденный за это время путь S(t) не связаны между собой с помощью выражения (3), а средняя Vcp(t) наоборот связана.

Таким образом, и средняя, и мгновенная скорости показывают изменение пути по отношению к времени, но разного пути: мгновенная показывает изменение пути в некоторой окрестности точки X, на интервале вокруг этой точки, а средняя показывает общее изменение пути от момента времени, принятого за начало отсчета.

Это отличие средней и мгновенной скорости хорошо видно на этом графике в виде разного наклона линий для угла соответствующего средней скорости Vcp() за t = – 0 и для угла соответствующего средней скорости Vcp (за физически малый интервал) равной мгновенной V() за t = – 0, т.к. мы таким образом определили мгновенную скорость.

Несмотря на то, что мгновенная скорость за t = – 0 может быть подсчитана в точке как средняя на некотором интервале, ее значение в этой точке не связано со значением пройденного пути за t = – 0 с помощью выражения (3).

В общем, на интервале пути на графике размером в два метра, из линий углов соответствующих скоростям видно, что средняя скорость Vcp(t) и мгновенная скорость V(t) не является постоянными, изменяется от времени, но не равны между собой Vcp(t) V(t)const.

Физический смысл мгновенной скорости состоит в том, что это истинная скорость, с которой движется тело на небольшом участке пути, истинная скорость, с которой при движении взаимодействует тело с какими-то окружающими его телами (например, сталкивается или движется рядом).

Средняя скорость тоже может изменяться от времени и от физически малого интервала, но она не имеет такого физического смысла, как мгновенная скорость и не равна ей (Vcp(t) V(t)const).

Построим график скорости, значения мгновенной скорости получим по выражению (3) из графика пути для каждого физически малого интервала.

Можно вспомнить, что на графике скорости площадь прямоугольника под пунктирной линией соответствует пройденному для этой средней скорости пути.

Мгновенная скорость является средней для физически малого интервала, т.е. площадь под каждым прямоугольником со сплошной линией соответствует пройденному за физически малый интервал пути.

Общий пройденный путь равен сумме путей за физически малые интервалы, сумма площадей под каждым прямоугольником со сплошной линией равна площади прямоугольника под пунктирной линией, т.к. путь был пройден один и тот же.

Также еще раз надо отметить, что расчет пути с использованием мгновенной скорости абсолютно точен, несмотря на то, что мы не знаем характер изменения пути от времени на физически малом интервале.

Во время движения мгновенная скорость может возрастать, уменьшатся за время пути, а средняя скорость за весь путь не имеет об этом информации, для средней важен только результат движения, поэтому, когда мы хотим изучить подробности движения, мы используем мгновенную скорость.

2. Непрерывность мгновенной скорости.

На графике скорости V(t) можно заметить, что хотя функция S(t) была функцией непрерывной, функция V(t) получила разрыв первого рода в точке перехода от одного физически малого интервала к другому.

Значит V(t), в отличие от S(t), перестала быть непрерывной и это может затруднить нахождение ограниченного физически малого интервала для скорости изменения самой скорости, если такое потребуется. Вспомним, что условия однородности конкретного физически малого интервала могут быть таковы, что не потребуется непрерывность функций S(t) и V(t).

Такая разрывная ступенчатая функция V(t) может быть аппроксимирована соответствующей ей непрерывной (это обратно тому, как непрерывную функцию мы заменяли ступенчатой), если величина разрывов первого рода для функции скорости V(t) может быть сделана сколь угодно малой путем уменьшения размера S. Функция является гладкой, если имеет непрерывную функцию скорости.

Геометрически, возможность сделать разрыв V(t) сколь угодно малым выглядит так, что линии углов, соответствующих скоростям на соседнихS будут лежать почти параллельно и разница между углами будет уменьшаться с уменьшением S.

Также эти углы не должны будут зависеть от выбора местоположения интерваловt на этом участке S(t), это означает, что начиная с некоторого размера S, функция S(t) будет на этом интервале монотонной и очень похожей на обычную прямую.

Может показаться, что сделать разрыв сколь угодно малым можно всегда, если функция S(t) непрерывна, но это не так.

Рассмотрим непрерывную функцию , которая не является гладкой.

Для физически малых интервалов слева, как угодно малых и имеющих правой границей х=0, значение скорости будет отличаться на постоянную величину, не зависящую оту, от интервалов, расположенных подобным образом справа и имеющих левой границей х=0. Значение скорости в окрестности точки х=0 также зависит от выбора положения этой точки на у.

На графике явно виден излом, функция мгновенной скорости в этой точке х будет иметь разрыв первого рода, который нельзя сделать сколь угодно малым.

Таким образом, для гладкой S(t), функция V(t) будет непрерывной и зафиксировав нужный размер ограниченного физически малого интервала, для функции V(t), можно всегда подобрать нужный интервал для S(t) и вычислить скорость изменения самой скорости (м/с)/с.

Понятно, что такой процесс вычисления скорости для скорости для гладкой S(t), имеющей гладкую V(t), можно проводить бесконечно долго, вернее, до того момента, когда скорость изменения скорости станет равной нулю и проводить его дальше станет бессмысленно. Для этого функция S(t) должна стать постоянной величиной y=const, на графике такой величины угол, соответствующий скорости изменения постоянной величины (константы), равен нулю и его тангенс, равный скорости, тоже равен нулю.

2. Мгновенная скорость и путь.

1. Интегрально-дифференциальные соотношения.

Мы уже отметили, что мгновенная скорость V(t) не связана с пройденным за это время путем S(t) с помощью выражения (3). А каким образом она связана? Нам надо знать такую связь, чтобы, обладая описанием характера движения V(t), получить закон движения тела S(t) и решить задачу механики, так же интересна и обратная задача.

Можно догадаться, что если для описания характера движения на интервале как дающего какой-то определенный результат было достаточно одного числа, средней скорости, то для описания подробностей движения на интервале потребуется функция V(t), которая даст ответ о значении мгновенной скорости на каждом физически малом интервале.

Может возникнуть вопрос, почему для описания подробностей не использовать другую функцию от времени, а именно, Vср(t)? Мы уже выяснили, что физический смысл средней скорости отличается от физического смысла мгновенной скорости и оказывается, что мгновенная скорость имеет особенное значение при изучении взаимодействия движущихся тел между собой, т.к. именно мгновенной скоростью характеризуется движение тела при таких взаимодействиях.

Говорят, что мгновенная скорость и пройденный путь связаны между собой интегро-дифференциальными соотношениями. Процесс нахождения пути S(t) по известному характеру движения, мгновенной скорости V(t) называется интегрированием, обратный процесс называется дифференцированием.

Интегрирование и дифференцирование это формальные математические операции, которые одной функции ставят в соответствие некоторую другую функцию, подобно тому, как операция сложения ставит одно значение в соответствие нескольким другим.

Отметим, что для РПД, из определения мгновенной скорости и того, что мы изучили о средней скорости при РПД, ясно, что мгновенная скорость при этом примечательном виде движения совпадает со средней в любой точке, поэтому интегро-дифференциальные соотношения для такого движения имеют вид алгебраического выражения (3). Но для других видов движения это не так.

То, что мы проделали, изучая мгновенную скорость в предыдущем вопросе, для получения мгновенной скорости V(t) и построения ее графика и есть самое настоящее дифференцирование, только в численном, а не аналитическом виде. Для этого мы использовали применимые для конкретной задачи критерии физически малого интервала и численно находили значение скорости на каждом интервале.

Мы могли бы провести и обратный процесс, интегрирование, используя полученный график мгновенной скорости V(t) и восстановить график пути S(t) с точностью до физически малого интервала.

Но нам интересны не только численные и графические, но также и некие формальные правила, если они есть, чтобы подобно таблице, существующей для операции умножения, проводить интегрирование и дифференцирование функций в аналитическом виде их записи.

Для этого нам надо использовать ограниченный физически малый интервал, как пример физически малого интервала с универсальным и не зависящим от задачи критерием физической малости.

2. Дифференцирование в аналитическом виде.

Непрерывные функции удовлетворяют требованию нахождения на них сколь угодно малого ограниченного физически малого интервала, поэтому для них всегда может быть проведена аппроксимация ступенчатой функцией со сколь угодно малой ступенькой и последующая операция численного дифференцирования.

В математике также используется понятие производной, с помощью которой можно вычислить мгновенную скорость в некоторой точке. Для существования производной необходимо, чтобы в окрестности данной точки, начиная с некоторого физически малого интервалаS, для егоt и всех меньшихt, средняя скорость относительно таких интервалов была бы почти постоянна и ее изменение, от измененияt, можно было бы сделать сколь угодно малым. Функция в окрестности такой точки должна быть гладкой.

Геометрически гладкость выглядит так, что линии одной из стороны углов, соответствующих каждому отношению приращений S,t, может быть одновременно и больше и меньше угла, соответствующего производной, но должна лежать в пределах сколь угодно малого значения, т.е. линия графика функции в окрестности может быть волнистой, но с пологой волной, и волнистость должна уменьшатся с уменьшением размера интервала.

Это постоянство мгновенной скорости независимо от интервала t имеет (дополнительно к уже найденному физическому смыслу мгновенной скорости) имеет физический смысл того, что она равна той скорости, с какой это тело, начиная с этого момента времени, могло бы двигаться равномерно и прямолинейно. Линия такого движения является касательной к графику пройденного пути, для мгновенной скорости на других физически малых интервалах, линия такого движения не обязательно будет касательной.

Для нас, функция, описывающая реальный физический процесс, почти всегда будет гладкой, поэтому для вычисления скорости мы можем пользоваться математическим аппаратом вычисления производных.

Я хочу здесь особо отметить, что в учебниках математического анализа (например, Я.С. Бугров, С.М. Никольский, "Дифференциальное и интегральное исчисление"; "Наука"; 1988; стр. 125) можно прочитать то, что в математике известны примеры функций, непрерывных на всей оси, но не имеющих производную ни в одной точке. Также утверждается, что если есть производная, то функция в окрестности точки непрерывна, но не наоборот.

Таким образом, для вычисления скорости с помощью производной, а не для других условий физической малости интервалов, только непрерывности функции недостаточно, а в конкретном случае физически малого интервала, даже и непрерывность функции может не являться обязательной для нахождения мгновенной скорости.

Мы также определили под дифференцированием нахождение мгновенной скорости для физически малого интервала, а не только нахождение производной. Такое определение налагает меньше, чем для производной, условий на функцию для нахождения ее мгновенной скорости, имеет ясный физический смысл и не вносит никакой путаницы в связи с существованием иных способов определения дифференцирования.

Производная является еще и мгновенной скоростью, но не всегда наоборот. Эти отличия не будут иметь значение для практического использования производных и применения правил работы с ними там, где производные определены. Это очень широкий класс случаев и они указаны в таблицах производных или дифференциалов. Обозначают операцию нахождения производной (операцию дифференцирования) или .

Таким образом, для дифференцирования известных функций в аналитическом виде можно пользоваться готовыми таблицами. Вот она для некоторых функций.

Подробнее ознакомиться с правилами вычислений и известными применениями производных можно в математическом справочнике.

3. Интегрирование в аналитическом виде.

Мы уже обнаружили, что после конкретного численного дифференцирования, функция скорости получила разрывы первого рода, функция скорости, вычисленная для какого-то конкретного взятого физически малого интервала пути, не является непрерывной, содержит точки разрыва первого рода, т.е. дифференцирование ухудшает непрерывность функции.

Но в то же время, конкретная функция пути (ломаная кривая, состоящая из отрезков прямых на физически малых интервалах), соответствующая такой конкретной разрывной функции скорости, уже является непрерывной. Несмотря на резкое изменение угла на стыке двух прямых (отсутствие гладкости), действуя совершенно аналогично рассмотрению физически малого интервала для точек экстремума, можно видеть, что интервалы содержащие точки излома могут быть сделаны сколь угодно малыми.

Таким образом, для того, чтобы функцию можно было интегрировать, вовсе не обязательно, чтобы она была непрерывной. После интегрирования функция уже становится непрерывной, т.е. операция интегрирования улучшает непрерывность функций и дает возможность всегда найти мгновенную скорость численным дифференцированием для функции, которая получена после интегрирования.

Обозначают операцию интегрирования так:, результат называют неопределенным интегралом, функцию V(t), стоящую под знаком интеграла – подынтегральной функцией. Функцию, полученную в результате интегрирования, называют первообразной F(t), ее производная равна подынтегральной функции V(t).

Помимо того, что мы можем интегрировать численно, по графику скорости вычисляя площади, для известных функций, как и для производных, существуют таблицы первообразных. Вот она для некоторых функций.

Заметим, что для одной подынтегральной функции V(t) существует целое семейство первообразных S(t), которые отличаются на константу С, т.е. (это возможно, т.к. производная от константы равна нулю).

Зная только V(t) невозможно выяснить точное значение С, которое определяется, например, из начальных условий, при t=0. Полагая, что S(t) равна нулю, в момент t=0, то С=, т.е. константа равна пути, который уже был пройден до момента времени, принятого за начало отсчета.

Подробнее ознакомиться с правилами вычислений и известными применениями интегралов можно в математическом справочнике.

4. Применение интегро-дифференциальных соотношений.

Дифференцирование позволяет изучать изменение величины на физически однородных участках, а интегрирование позволяет выяснить общее, суммарное изменение физической величины от всех физически однородных участков, на каждом из которых изменение может быть отличным от других. Это общее (не только для движения) применение этих математических операций.

Математические модели, содержащие эти операции, называют интегро-дифференциальными уравнениями. Очень разные процессы реальности, которые можно изучать раздельно на каждом из их однородных участков, могут быть выражены одними и теми же интегро-дифференциальными уравнениями.

3. Ускоренное движение.

До этого момента мы рассматривали движение, которое подразделяли на два вида: на равномерное и на сложное. Теперь, выяснив связь между мгновенной скоростью и пройденным путем, рассмотрим один из видов сложного движения отдельно.

Это движение, при котором скорость описывается линейной функцией вида . Коэффициентназывается ускорением, посмотрев на график такой скорости и зная смысл коэффициента для линейной функции ясно, что ускорение это скорость изменения скорости. Единица измерения ускорения , как и скорость, не имеет специального названия.

Если ускорение является величиной постоянной и не зависит от времени а(t)=const=а, то движение называется равноускоренным. Если же ускорение изменяется, но нам такие подробности не нужны, то мы, как и для скорости, можем всегда вычислить среднее ускорение и считать движение с таким средним ускорением равноускоренным. Равноускоренное движение является важным, т.к. с его помощью можно достаточно легко описывать взаимодействия тел.

Согласно таблицам интегралов, закон движения для такой функции скорости имеет вид

.

Собственно аналитическое решение кинематических задач для известного типа движения сводится к отысканию закона движения по известной функции скорости в таблице интегралов или к чему-то подобному. Часто это просто вычислительные процедуры.

При сложном виде движения, поиск физически однородного интервала зависит от условия задачи. Этот вопрос мы тоже рассмотрели. Как это все делать мы в целом описали, а конкретные (частные) примеры можно найти в любом сборнике задач по физике, нет смысла включать их сюда.

Теперь приступим к изучению взаимодействий тел между собой. После установления взаимодействий и выяснения характера движения динамическая задача превращается в кинематическую, поэтому мы обязательно должны уметь решать кинематические задачи и понимать то, к каким кинематическим задачам можно свести взаимодействие тел.

5. Знакомство с динамикой.

1. Изменение характера движения.

1. Взаимодействия тел.

В реальном мире тела взаимодействуют друг с другом и от этого изменяется характер их движения. Изучение взаимодействий тел позволяет установить характер движения тела и затем, с помощью кинематики, решить задачу механики.

Конкретным примером движения с изменением его характера является опытный факт того, что все тела, поднятые над землей и предоставленные сами себе, падают на нее, т.е. имея в начальный момент времени скорость равную нулю, к моменту падения они имеют скорость отличающуюся от нуля. Это движение вызвано взаимодействием движущегося тела и земли.

Очень давно Галией провел следующий опыт: в трубе, из которой был выкачан воздух, бросали с высоты на землю разные предметы. В этом опыте он установил, что в пределах небольших расстояний от поверхности земли, все такие тела движутся к земле с ускорением, т.е. их скорость не является постоянной величиной и они падают на землю с одинаковым ускорением g ~ 10 , т.е. движутся равноускоренно.

Именно при изучении взаимодействия тел мы начнем активно применять научный метод решения физических задач и составление моделей. Но еще нам надо ознакомиться с основными свойствами тел, используемых при изучении их взаимодействий.

Давайте рассмотрим другой конкретный процесс изменения характера движения и попытаемся определить то, от чего зависит изменение движения. Мы уже проводили опыт с двумя шариками, когда пытались выяснить то, что представляет собой движение. Для разгона шариков мы использовали горку.

Если вы все же проделали этот опыт, то наверняка заметили эмпирический (из опытов, экспериментальный) факт того, что скорость одного и того же шарика зависит от угла наклона одной и той же плоскости горки. Чем больше был этот угол и выше поднимался шарик, тем быстрее была скорость шарика на дорожке.

Зафиксировав определенный угол, можно добиться того, что время Т, через которое шарик при каждом испытании проходит некоторое фиксированное расстояние S, будет практически постоянным. При этом мгновенная скорость шарика изменяется от нулевой (шарик покоится на горке), до некоторой постоянной величины (в районе точки Т).

Мы, фактически, получили устройство для стабильного изменения характера движения и изменение движение определяется этим устройством, но только ли им? Давайте посмотрим, как свойства самого тела, движение которого изменяется, влияет на это изменение характера своего движения и есть ли вообще такое влияние.

Давайте положим на место шарика другое пробное тело, например, короткий винт, болт или иной предмет сложной формы, не шар. Мы увидим, что изменение его движения существенно отличается от того же для шарика.

Можно взять шарик от подшипника другого размера (много меньший или больший), мы увидим, что скорость движения от этого фактически не изменяется, но рассмотрим другой процесс изменения характера движения и попытаемся определить то, как зависит изменение характера движения от размера тела.

Можно сделать толкатель из пружины, подобный пружинке в отсеке для батареек в переносном электронном устройстве (радиоприемнике, плэйере), который будет заменять собой горку. Сжимаем пружинку вместе с пробным телом, отпускаем пружинку и тело приходит в движение.

Сжимая пружинку на одну и ту же величину, одно и то же тело в каждом опыте будет двигаться одинаковым образом. Мы, фактически, получили устройство для стабильного изменения характера движения одного и того же тела.

Можно взять шарик от подшипника другого размера (много меньший или больший) и посмотреть на то, как изменяется движение при одном и том же сжатии пружины в зависимости от размеров шарика.

Такие простые опыты помогут нам увидеть, что при фиксированных: конструкции пути движения, горки и толкателя; наклона горки и длины сжатия пружины; изменение характера движения зависит от размеров, формы и материала движущегося тела. Чтобы провести более точные опыты, потребуется оборудование получше.

2. Инерция, инертность и масса.

Для изучения изменения характера движения мы также можем воспользоваться уже готовыми опытными фактами и нет нужды делать сложные приборы и проводить опыты, но если хотите и имеете возможность, вы сами можете подобные опыты провести.

Пусть есть устройство, которое разгоняет любое тело до фиксированной скорости, а затем позволяет телу двигаться самостоятельно по некоторой ровной поверхности.

Один из опытных фактов заключается в том, что такое движение тела сильно зависит от размеров этого тела, его формы (геометрии, например, шары, кубы, треугольники и т.п.) и материалов соприкасающихся тел (дерево, металл, пластик).

В общем, тела проходят разный путь в таком опыте, в зависимости от этих свойств тел (размера, геометрии и материалов). Но есть одна форма тела, движение по ровной поверхности при которой не зависит от размера и материалов. Этой формой тела является шар.

Для опытов мы уже использовали шары из подшипников. Для шаров можно найти достаточно большой интервал пути на ровной поверхности, на котором предоставленные сами себе шары двигаются равномерно и прямолинейно, т.е. не изменяют состояние движения, независимо от размеров шаров и материалов.

Изучение движения шаров интересно тем, что позволяет ответить на вопрос: влияет ли на изменение характера движения что-нибудь кроме формы тела. Оказывается, если взять два идентичных с виду шара, но сделанных из разных материалов, например, из свинца и из сухого дерева и толкнуть их пружинным толкателем, то мы увидим, что их движение различно, один движется быстрее другого.

Другие аналогичные опыты (например, попытка использовать движущиеся по гладкой поверхности кубы и хорошую смазку между трущимися телами; использование скользких, жирных на ощупь, материалов) заставляют считать, что есть что-то в самом движущемся теле, от чего зависит то, как будет изменяться характер движения тела при любой попытке изменить его скорость.

Это свойство тела, которое характеризует только физическую сущность тела с точки зрения существования его особенной реакции (его влияние на результат попытки) на попытку изменить его скорость, называется инертностью.

Инертность является собственным свойством тела, которое существует независимо от всех внешних условий, в том числе и от условий взаимодействия тел и их движения, а скорость, в отличие от инертности, характеризует именно само движение, и существует независимо от инертности движущегося тела.

Разные тела по-разному реагируют на попытки изменить их характер движения, т.е. имеют разную инертность. Количественная мера инертности тела называется инертной массой, или просто массой. Единицей измерения массы в СИ служит килограмм (кг). Это просто масса некоторого эталонного тела.

С одной стороны, как свойство, инертность указывает, что в принципе (неопределенным образом) от тела зависит то, как будет изменяться его скорость, но не говорит как именно в зависимости от количества (от массы) будет происходить изменение скорости (больше или меньше). Чем больше масса, тем больше влияние тела на попытку изменить его характер движения и это кажется имеющим слишком неопределенный смысл.

С другой стороны, при одном и том же воздействии на тело, большее значение массы можно приписать как тому телу, которое меньше изменяет свою скорость, так и наоборот и считать при этом, что тело, обладая большой массой, лучше изменяет свою скорость.

Обычно, определяя инертность, сразу утверждают, что чем больше масса, тем меньше изменяется скорость тела при одном и том же воздействии, но опыт показывает, что этот выбор не является произвольным.

Действительно, определяя массу как характеристику физической сущности тела, мы вправе связать ее только с телом и считать, что его масса не изменяется, если тело, например, движется в соединении с другими телами, тогда, если взять тело и приписать ему произвольную массу m, то два одинаковых тела будут иметь массу 2*m.

Если провести опыт (далее будет пример такого опыта), то при одном и том же воздействии, тело массой m будет больше изменять свою скорость, чем два таких же одинаковых тела массой 2*m вместе, т.е. при попытке изменить скорость тела, чем больше масса, тем меньше изменяется скорость, масса препятствует изменению скорости.

Почему масса такова для каждого их веществ, из того, что мы уже узнали, неясно. При обычных (не очень больших) скоростях опыт указывает на независимость массы от скорости.

Масса это интегральный (собирательный) параметр тела, который включает в себя все те причины, которые влияют на реакцию тела при условии действия только одного фактора, пытающегося изменить движение, т.е. после окончания действия этого единственного фактора, тело, предоставленное само себе, не изменяет характер своего движения (скорость), следовательно, движется равномерно и прямолинейно, в том числе со скоростью равной нулю.

Для шаров опыт показывает, что масса зависит от материала тела и размера шара, т.к. при изменении этих параметров меняется реакция на одни и те же попытки изменить скорость. Для других форм тела это также справедливо, масса зависит только от вида вещества и от его общего количества (объема).

Это хорошо, что масса зависит только от нескольких параметров тела. Было бы трудно изучать взаимодействия, если бы надо было всегда учитывать точную геометрию тела и другие параметры.

Надо обратить внимание на то, что состояние равномерного и прямолинейного движения тела, предоставленного самому себе (нет попыток изменить его скорость), называют инерцией. Также используют и более широкое значение слова инерция, когда любой вид движения тела, когда перестает действовать причина, которая вызывала это движение, называют инерцией, например, движение автомобиля до его остановки после выключения двигателя.

Но слово инерция иногда употребляют также и в значении инертность. Дело, конечно, не в названии, а в том, что за ним скрывается в каждом конкретном случае, т.к. между инертностью и инерцией (в смысле любого вида движения) могут быть существенные отличия.

Тело может не влиять на попытку изменить его скорость, т.е. иметь такую инертность (значение массы), которая себя никак не проявляет, но при этом прекрасно двигаться по инерции. Инерция это процесс, вид движения и он не характеризует собственные качества тела, не связан с влиянием тела на попытку изменить его скорость (с массой) и не измеряется количественно, в килограммах. Инертность можно рассматривать как способность сохранять инерцию (в смысле равномерного движения) при воздействии на тело.

3. Импульс. Количество движения.

Изучая кинематику, мы выяснили, что характер движения описывается его скоростью. На вопрос: как именно будет изменяться характер движения при взаимодействии тел, кинематика ответить не может.

На опыте известно, что движущееся тело обладает способностью совершить воздействие на некоторое пробное (тестовое) тело, например, заставить его двигаться (движущийся шар ударяет в другой), изменить форму тела (движущийся шар сминает шар из пластилина), нагреть тело (удар молотком по железному прутку).

Попробуем выяснить, как связана способность движущегося тела совершить воздействие на другие тела со скоростью его движения, его массой и иными характеристиками.

Для проведения опытов нам понадобится изучить поведение небольшого прямоугольного тела, которое может двигаться по ровной поверхности. Опыт показывает, что в широком диапазоне скоростей такое тело, предоставленное само себе, замедляется с постоянным, не зависящим от скорости, ускорением.

Взаимодействие движущегося тела с поверхностью является причиной появления ускорения. Для величины этого ускорения имеют значение материалы соприкасающихся тел, размеры движущегося тела и другие факторы. Опыт также показывает, что если поставить на движущееся тело точно такое же, то ускорение изменяется, это значит, что изменяется и взаимодействие.

Мы же хотим изучить изменение движения разных тел при одном и том же постоянном взаимодействии. Одним из способов так сделать является привязывание к одному неизменному взаимодействующему телу других тел, которые предоставленные сами себе движутся равномерно и прямолинейно, т.е. на этой поверхности не взаимодействуют, например, можно привязать к телу тележку, как вагончик.

Для опытов нам понадобятся три одинаковых вагончика особой конструкции. Каждое тело должно состоять из тележки и устанавливаемого на нее и соединяемого с ней груза. Также каждое тело должно иметь возможность соединиться с другим с помощью жесткой связи, например, металлического прутка.

Если поставить такое тело той стороной вниз, где тележка, то оно, предоставленное само себе, сможет двигаться равномерно и прямолинейно. Если же поставить такое тело стороной, где груз, то такое тело, предоставленное само себе, будет замедляться с постоянным ускорением.

Возможно, чтобы все эти тела могли двигаться по каким-нибудь рельсам или рядом с буртиками, чтобы гарантировать движение только в одном направлении.

Проведем первый опыт. Поставим одно тело вверх колесами, оно будет замедляться при движении. Возьмем произвольную скорость V. Запустим это тело со скоростями: V, 2*V и 3*V. Замерим, соответственно, время, за которое это тело остановилось: Т11, Т12 и Т13.

Проведем второй опыт. Присоединим к первому телу, поставленному вверх колесами, второе, поставленное на колеса, как вагончики. Запустим такой состав со скоростями: V, 2*V и 3*V. Замерим, соответственно, время, за которое эти тела после начала совместного движения остановились: Т21, Т22 и Т23.

Проведем третий опыт. Присоединим к первым двум третье, поставленное на колеса. Запустим такой состав со скоростями: V, 2*V и 3*V. Замерим, соответственно, время, за которое эти тела после начала совместного движения остановились: Т31, Т32 и Т33.

Опыты покажут интересные результаты. Средние ускорения (скорость от начальной до нулевой / время изменения скорости), с которыми тормозились тела, изменяются в зависимости от числа движущихся тел, но время, за которое останавливаются тела, неожиданно окажется равным для разных комбинаций номера опыта и номера скорости.

Оказывается, что попарно равны времена Т12=Т21, Т13=Т31 и Т23=Т32, т.е. тело в первом опыте, состоящее только из замедляющейся части и двигающееся со скоростью 2*V, затратило на остановку столько же времени, как и тело во втором опыте, состоящее из двух частей и двигающееся со скоростью V и так далее для пар Т13 и Т23.

Масса количественно характеризует реакцию тела на попытки изменить его скорость, а т.к. ускорение от опыта к опыту изменялось, то и общая масса движущегося тела от опыта к опыту изменялась. Каждое из этих тел по отдельности имеет одну и ту же массу, т.к. они являются абсолютно одинаковыми телами. Обозначим массу каждой части за m, а общую массу тела в каждом эксперименте за M.

Ранее, мы уже договорились считать массу общего тела M равной сумме масс каждого из участвующих тел, т.е. M=o*m, где o=1,2,3 – номер опыта, также обозначим скорость движения тела в каждом опыте как U=k*V, где k=1,2,3 – коэффициент увеличения скорости.

Сравним массы, время и скорость следующим образом.

1m	2V	T12 = T21	2m	1V
1m	3V	T13 = T31	3m	1V
2m	3V	T23 = T32	3m	2V

Можно увидеть, что с точки зрения соответствия движения в каждом опыте одному и тому же значению времени до полной остановки, некоторое количество массы (o*m) абсолютно идентичны некоторому количеству скорости (k*V), т.е. можно заменить одно на другое без всякой разницы для этого соответствия.

Можно изменять значение V, или m (изменяя груз), но ничего не изменится. Одним из способов обеспечить такое соответствие может быть математическая модель, выражаемая произведением U* M ~ T, т.е. o*m* k*V ~ T. В этом случае, независимо от постоянных значений m и V, произведение o*k остается одинаковым как минимум для двух разных целых чисел.

Можно ввести некий коэффициент x, который характеризует конкретные условия воздействия. С помощью этого коэффициента x, зная конкретные значения массы и скорости, можно определить время, которое будет потрачено на полную остановку тела, т.е. U* M*х = T.

Рассмотрим произведение массы тела на его скорость m*V, оно включает в себя свойство движущегося тела m и характер движения V.

В экспериментах замедляющееся тело воздействовало на ровную поверхность, что вызывало его остановку, они показали, что масса и скорость однотипным образом сказываются на способности движущегося тела совершать рассмотренный тип воздействия на другие тела, что время, в течение которого происходит воздействие, связано с этим произведением m*V.

При нулевой скорости, отсутствует воздействие, с ростом массы тела воздействие возрастает, также возрастает воздействие с ростом скорости, все это хорошо согласуется качественно с опытом других взаимодействий между телами.

По этой причине такое произведение m*V можно использовать в качестве меры способности движущегося тела в принципе (неопределенным образом) совершить какое-то воздействие, такая мера называется количеством движения или импульсом.

Импульс пропорционален времени, в течение которого, в зависимости от движения, будет происходить каждое конкретное воздействие, т.е. чем быстрее движение и больше масса, тем дольше происходит воздействие.

Какой вид будет иметь конкретное воздействие при взаимодействии тел и будет ли оно вообще определяется конкретными условиями взаимодействия. Импульс только исключает из всех возможных воздействий те, для которых требуется иное значение импульса, например, требуется очень долгое время воздействия и данное движущееся тело не способно его совершить.

Как и для скорости, не существует специального названия для единицы измерения импульса, хотя исторически, могло бы быть имя, например, Декарта, который был одним из выступающих за важность и большое значение импульса. Единица измерения импульса в СИ .

4. Сила.

Пытаясь охарактеризовать движущееся тело с точки зрения его воздействия на другие тела, мы выяснили, что масса и скорость дают равнозначный вклад в то, как долго будет воздействовать движущееся тело.

В рассмотренном выше примере тело замедляется с некоторым ускорением, т.е. его скорость постоянно изменяется, поэтому постоянно изменяется и импульс. Мы можем вычислить меру изменения импульса p(t)=m*v(t) по отношению к единице времени, скорость изменения импульса. Скорость изменения импульса называется силой.

Это утверждение о том, что можно вычислить скорость изменения импульса называется вторым законом Ньютона. Но сила имеет не только значение скорости изменения импульса, когда смысл применимости импульса в изучении взаимодействий сам по себе еще не очень ясен (позже мы увидим, что он из себя представляет). Оказывается, с помощью силы удобно характеризовать воздействие, которое вызывает изменение движения.

Действительно, если изменяется характер движения, значит изменяется и импульс, значит существует не равная нулю скорость изменения импульса, т.е. сила и данную попытку изменить скорость можно характеризовать с помощью этой силы, отсюда ясно, что сила является не причиной движения, а причиной изменения движения (скорости).

Когда говорят о том, что действует сила, говорят о том, что есть попытка изменить скорость движения тела, а когда говорят, что сила есть причина чего-либо, то имеют в виду, что воздействие, которое изменяет движение и которое характеризуют с помощью силы есть причина этого чего-либо.

Вспомним, что Галилей открыл факт того, что все тела падают на землю с одним и тем же ускорением, это означает, что на все тела у земли действует сила, ее называют силой тяжести.

Если сила не изменяется в процессе воздействия, то по аналогии со средней скоростью второй закон Ньютона можно записать в виде. Выражение слева называется импульс силы F, выражение справа это изменение импульса (как говорят, импульса тела). Также популярна запись через ускорение. Если считать, что масса не зависит от времени, то .

Единица измерения силы в СИ имеет название Ньютон (Н), эта единица связана с остальными через второй закон Ньютона:. Сила F и импульс p, от того что в них входит скорость, могут являться векторными величинами. Вероятно, по причине своей связи с силой импульс и получил свое название. Изменение импульса численно равно значению силы, действующей в единицу времени, т.е. импульсно.

Силу тяжести, действующую на каждое конкретное тело, называют весом этого тела, это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Получается непонятно. Раз действует сила тяжести, отличная от нуля, то должна изменяться и скорость тела, но тело находится в покое, лежит на столе.

Единственной возможностью избавиться от такого противоречия является признание факта того, что на такое тело действует еще какая-то причина, которая уравновешивает попытку силы тяжести изменить скорость тела. Эта причина должна характеризоваться такой же по величине силой, быть приложена к тому же телу, но иметь противоположное направление действия. Эту уравновешивающую вес силу называют реакцией опоры или подвеса.

Можно провести эксперимент, чтобы убедиться, что стол не экранирует действие силы тяжести, а именно противодействует движению тела от действия силы тяжести и сам действует на тело с противонаправленой силой имеющей иную, нежели притяжение земли, природу. Если поднять тело над столом и отпустить, то сила тяжести продолжает действовать.

Таким образом, условием отсутствия изменения скорости движения тела (не только для скорости тела равной нулю) является равенство нулю векторной суммы всех действующих на тело сил.

По этой причине, если два тела неподвижны друг относительно друга, а одно из этих тел действует на другое с некоторой силой, то другое тело в свою очередь действует на это тело с силой такой же величины и имеющей противоположное направление. Это утверждение является частным случаем третьего закона Ньютона при неподвижных телах.

В этом примере тело можно двигать по столу горизонтально, но в вертикальном направлении тело и стол останутся неподвижными, значит действие силы реакции опоры сохраняется и этот частный случай третьего закона Ньютона продолжает выполняться.

Посмотрим на рисунок. Известно, что на тело, движущееся с замедлением по некоторой поверхности, действует сила трения.

На верхнее тело, при его движении со скоростью V относительно нижнего, действует сила трения F, при этом сила F не направлена перпендикулярно движению и тела не являются неподвижными друг относительно друга.

Но движение относительно, т.е. можно сказать, что наоборот, верхнее тело неподвижно, а нижнее движется со скоростью (–V) и только на нижнее тело действует сила трения (–F). На этот факт найденного наличия то одной, то другой силы можно предположить, что сила зависит от выбора системы отсчета. Но с помощью сил мы описывает воздействие одного тела на другое, а воздействие уже не может зависеть от системы отсчета, т.е. от того, какое тело мы считаем неподвижным.

Действительно, воздействие проявляет себя не только в виде движения, но и, например, в виде деформации тел или их нагрева. Было бы странно, если деформации подвергалось только то тело, которое мы в нашем примере произвольно стали считать подвижным и на которое действует сила F.

Также если предположить, что при взаимодействии только на одно тело действует сила, это означало бы, что тело, на которое при взаимодействии не действует сила, не изменяет характер своего движения, но опыт показывает, что это не так и оба тела при взаимодействии изменяют характер своего движения.

Становится ясно, что воздействию в данном примере подвергаются оба тела, значит на оба тела действуют силы, но равны ли эти силы между собой? Рассмотрим несколько возможных правил, по которым может происходить взаимодействие тел.

• Может быть вариант, что тела при взаимодействии получают равные ускорения, в этом случае, действующая на тело сила зависит от массы и эти силы не равны между собой.
• Может быть вариант, что тела взаимодействуют с равной силой, т.е. одинаковым образом изменяются импульсы и в зависимости от массы тела получают разные ускорения.
• Может быть вариант, что тела взаимодействуют по-разному, в зависимости от дополнительных условий взаимодействия.

Опыт показывает, что любым образом взаимодействующие тела действуют друг на друга одинаковым образом с одинаковой силой. Это более общий вид третьего закона Ньютона, который не налагает ограничений на взаимное движение тел при их взаимодействии при движении.

Это утверждение затруднительно объяснить для произвольного случая взаимодействия тел, и оно является индуктивным умозаключением, распространяемым на все случаи по известным результатам от нескольких частных случаев.

В данном примере сила трения определяется силой, с которой одно тело действует на другое в плоскости перпендикулярной движению, т.е. определяется силой тяжести и силой реакции опоры, которые не изменяются в процессе движения, поэтому силы трения, действующие на то и на другое тело равны между собой.

Действие третьего закона Ньютона можно увидеть на примере столкновения движущегося пластилинового шарика о такой же неподвижный, они оба сминаются при ударе, а не только тот, в который был неподвижен. С точки зрения относительности движения, про которую мы уже говорили, это совершенно правильно, т.к. рассматривая только систему из этих двух шариков, невозможно сказать какой из них движется.

Если же результирующий вектор силы не равен нулю, то эту общую силу называют равнодействующей силой. Подробности движения тела, при котором оно может вращаться, пока не будем рассматривать.

Этот принцип, который заключается в том, что каждая сила действует независимо от других, а общая сила равна сумме независимых воздействий, называется принципом суперпозиции, сложения сил. Математически его можно выразить так: для причин воздействий a и b, результат, который описывается функцией f(причина), f(a)+f(b)=f(a+b), такому правилу удовлетворяет линейная функция f(x)=kx+b.

Помня краткую форму третьего закона, в виде "действие равно противодействию" и, например, рассматривая движение автомобиля и привязанной к нему тележки, зная, что действие равно противодействию, некоторые не могут понять, почему автомобиль движется, когда тележка действует на него с той же силой, что и автомобиль на тележку, забывают учитывать все причины изменения движения и то, к каким телам приложены силы.

Если взять стержень и прикрепить ее за центр так, чтобы она могла поворачиваться вокруг центра на манер качелей, то ее можно использовать в качестве прибора для измерения массы – равноплечных весов.

Известен опытный факт, что расположенные на равном удалении от центра, два одинаковых тела не вызывают поворот планки. На каждое из тел действует сила тяжести, ускорение от которой не зависит от массы, а конструкция весов позволяет силам, действующим на каждое из этих тел, взаимно компенсировать друг друга.

Поэтому, положив на один конец весов тело неизвестной массы, а на другой конец положив несколько тел, сумма масс которых известна, так, что весы придут в равновесие, можно говорить о равенстве массы неизвестного тела и эталонных тел.

5. Системы отсчета в динамике.

В определении движения мы различили наличие движения и его отсутствие, но для изучения изменения характера движения такая классификация неудобна. Мы будем разделять движение на то, при котором отсутствует изменение его характера и на то, при котором такое изменение есть.

Достаточно очевиден тот простой факт, что если отсутствуют причины, по которым скорость тела изменяется, то скорость тела не изменяется, т.е. тело движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя. Легко себе представить некоторую систему отсчета, в которой отсутствуют причины, по которым скорость тела изменяется, такая система отсчета называется инерциальной.

Тот факт, что инерциальная система отсчета может теоретически существовать, называется первым законом Ньютона, а теоретически существовать она может, так как ничего не мешает нам вообразить себе такую систему отсчета. Ньютон догадался, что воображать ее нужно для того, что она имеет ряд интересных преимуществ перед всеми другими системами отсчета.

Одно из преимуществ инерциальной системы состоит в том, что для нее, сила, действующая на тело от некоторого воздействия, при отсутствии этого воздействия равна нулю, т.е. воздействие на тело можно характеризовать с помощью силы и, как говорят, справедлив второй закон Ньютона, т.е. изменение импульса (и скорости) связано только с воздействием, сам по себе импульс не изменяется.

Рассмотрим на плоскости две системы отсчета.

Одна из них, система K, движется вдоль оси Х с постоянной, относительно системы Y, скоростью U, т.е. начало отсчета системы К, точка А, движется с этой скоростью.

В системе отсчета K, тело М, обозначенное на графике квадратиком, имеет некоторую постоянную, относительно точки А, скорость V.

Попробуем определить, каковы скорость и координата тела М в системе Y. Координата точки А определяется для равномерного движения так . Пусть V=0, тогда положение тела М в системе К () не изменяется, тогда координата тела М в системе Y будет . Если же V0, то координата в системе К изменяется, т.е. .

Координататела М в системе Y:	.
Скорость тела М в системе Y:	.

Таким образом, мы получили выражения для преобразования координат и скоростей из одной системы отсчета в другую, их называют преобразованиями Галилея, они основаны на том, что в этих системах время t течет одинаково. Выражение для скорости называют классическим законом сложения скоростей.

Из этих преобразований видно, что равномерное и прямолинейное движение в одной системе отсчета, будет таким же и в другой системе, которая двигается равномерно и прямолинейно относительно первой, т.е. любая система отсчета, которая движется относительно инерциальной системы равномерно и прямолинейно, тоже будет инерциальной, инерциальных систем существует бесконечно много.

Инерциальная система это пример абстрактной физической модели, к которой, с заданной точностью, мы намереваемся сводить взаимодействие тел в реальном мире. Можно попробовать разобраться в том, как такая физическая модель соотносится с реальностью.

Мы можем связать с любым движением любую систему отсчета и сказать, что она инерциальная, а если в реальности тело изменяет в ней состояние движения, значит оно подвергается воздействию и это воздействие можно описать с помощью сил.

В предыдущих опытах мы использовали движение шаров и тележек, при котором достаточно долго тела двигались равномерно и прямолинейно относительно поверхности, значит система, связанная с поверхностью, по которой движется тело, в условиях опыта была вполне инерциальна. Критерии похожести на инерциальность те же, что и при измерениях расстояний, вычислениях мгновенной скорости и подборе физически однородных интервалов.

В случае если в нашем примере система К двигалась бы с переменной скоростью U, но в ней тело М двигалось бы равномерно, то при переходе в систему Y, движение тела М выглядело бы так, что на тело начала действовать неизвестная сила. Такую силу называют силой инерции

В данном примере переход в систему К полезен для того, чтобы иметь самый простой (равномерный) вид движения тела М, но это не всегда так. Часто такой переход в неинерциальную систему К приходится делать по причине того, что мы изучаем именно то, как изменяется движение тела М относительно движущейся с ускорением системы К и движение тела М в системе К не обязательно будет иметь самый простой вид.

Силу инерции легко обнаружить на практике при быстром разгоне, торможении или повороте автомобиля, если считать автомобиль неподвижным, то по отношению к автомобилю, на предметы в нем действует сила, т.к. изменяется их скорость по отношению к автомобилю.

Как определить значение силы инерции и ее направление? Для правильного определения силы инерции необходимо разобраться к каким телам и каким образом приложены силы. Рассмотрим два примера.

На рисунке тело массы m находится в лифте. Если лифт неподвижен, то на тело массы m действует только сила тяжести F=mg и уравновешивающая ее сила реакции опоры N.

Предположим, что лифт движется вверх с ускорением . Системе отсчета, которая связана с лифтом начала двигаться с ускорением и перестала быть инерциальной, что эквивалентно возникновению силы инерции.

Определяя силу инерции, некоторые рассуждают примерно так: ускорение лифта направлено вверх, значит тело массы m, которое неподвижно относительно лифта, движется так же, как и лифт, вверх, с тем же ускорением, а так как ускорение тела m направлено вверх, значит и сила инерции, которая появилась при движении, равная массе умноженной на это ускорение, также направлена вверх.

Выясним, каким образом действуют силы реально. С точки зрения наблюдателя с земли, лифт, вместе с неподвижным относительно него телом массы m, движется с ускорением вверх, значит на лифт и на это тело действительно действует сила, придающая телам это ускорение.

Но в инерциальной системе отсчета, которая связана с землей, не существует сил инерции, поэтому тот факт, что некая сила существует и действует, вовсе не означает, что именно она и является силой инерции в системе отсчета, связанной с лифтом.

Ускоряясь, лифт действует на тело массы m с силой F=ma, которая и обеспечивает этому телу такое же ускорение, какое имеет и сам лифт. Так как тело и лифт неподвижны друг относительно друга, то раз лифт действует на тело с силой F=ma, направленной вверх, то и тело действует на лифт с такой же силой F=ma, но направленной вниз. Помимо этого, тело действует на лифт с силой от притяжения земли F=mg. Таким образом, результирующая сила, с которой тело действует на лифт, равна ma+mg.

Перейдем в систему отсчета, связанную с лифтом, мы уже можем и не знать факт реального ускорения лифта вместе с телом массы m относительно земли и в любом случае, считаем наш лифт неподвижным.

Но сила, с которой это тело m давит на пол лифта, при ускорении лифта отличается от веса тела m и равна, как мы уже выяснили, ma+mg, т.е. в нашей схеме сил, действующих на тело m, появилась неожиданная сила ma, которая направлена в ту же сторону, как и сила тяжести mg. Никаких видимых причин, которые бы могли объяснить эту новую силу, в системе отсчета, связанной с лифтом, нет.

В неинерциальной системе отсчета, которая связана с лифтом, именно эта сила, с которой тело m действует на неподвижный в этой системе отсчета лифт, является силой инерции =ma. Ее присутствие объясняется ускоренным движением лифта относительно инерциальных систем, а сила ma, которая дополнительно действует со стороны лифта на тело m, является силой реакции неподвижной опоры.

Таким образом, сила, которая заставляет тело m ускоряться вместе с лифтом не является силой инерции, более того, она не всегда обязательно присутствует и действует на тело. Например, если мы из системы отсчета с неподвижным лифтом посмотрим на землю, то увидим, что она удаляется от нас в противоположном ускорению лифта направлении. Ее ускоренное движение связано с действием на нее силы инерции.

Определить направление силы инерции можно по тому, куда направлено ускорение тела в неинерциальной системе, если относительно инерциальной системы отсчета это тело двигается равномерно и прямолинейно. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению неинерциальной системы относительно инерциальной, т.е. если неинерциальная система (лифт) движется вверх, то ускорение силы инерции направлено вниз

Значение силы инерции таково, что ускорение всех тел в неинерциальной системе от действия этой силы инерции равно значению ускорения самой неинерциальной системы относительно инерциальной.

Второй пример. На этом рисунке, на поверхность неподвижной опоры массой М попадает движущееся с начальным импульсом тело массы m, после чего, тело m начинает двигаться по опоре М с трением.

Сила трения не зависит от скорости движения тела m,

- коэффициент трения, зависящий от условий трения. Сама опора М может двигаться без трения относительно земли.

Каким образом будет происходить совместное движение этих тел? Например, можно рассуждать так. Каким бы образом не двигалось тело m относительно опоры М, если такое движение есть, то сила трения всегда постоянна и направлена встречно начальному импульсу тела m, т.е. на тело m действует сила трения ().

Никаких других сил, действующих на тело m, не возникает. Система отсчета, связанная с землей, является инерциальной, по этой причине, на тело не действуют силы инерции. Значит, относительно земли, тело будет двигаться с ускорением ().

Раз существует сила, действующая на на тело m, направленная противоположно движению из-за воздействия опоры М, значит, по третьему закону Ньютона, такая же по значению, но противоположная по направлению, сила действует на опору М, которая тоже начинает двигаться с некоторым ускорением относительно земли, направленным в сторону начального импульса . Никаких других сил, действующих на тело m, не возникает. Система отсчета, связанная с землей, является инерциальной, по этой причине, на тело не действуют силы инерции. Значит, относительно земли, тело будет двигаться с ускорением .

Если опора М достаточно длинная, то спустя время скорости тел сравняются и оба тела с общей массой (M+m) будут двигаться вместе с некоторой скоростью U, при этом нас может заинтересовать вопрос о том, какой путь при этом пройдет тело m по опоре М.

Можно, оставаясь в инерциальной системе Земли, найти путь , который проходит тело m до того момента, когда его скорость упадет до значения U; затем найти путь , который проходит тело М, до того момента, когда тело М разгонится до скорости U; а затем из вычесть .

Но легче всего перейти в систему отсчета, связанную с опорой М, а такая система отсчета уже не является инерциальной. Сила инерции будет действовать на тело m, и будет направлена в сторону, противоположную ускорению опоры М, т.е. в системе отсчета, связанной с опорой М, сила торможения, действующая на тело m, возрастет.

Как определить значение силы инерции? Ускорение силы инерции равно ускорению неинерциальной системы, т.е. , поэтому сила инерции . Таким образом, общая сила , действующая на m в системе отсчета, связанной с М,

.

Вернемся от примеров к системам отсчета. Раньше люди считали, что существует всеобщая причина, которая приводит к изменению скорости любого движущегося тела, которое предоставлено само себе, т.е. свойство реальности таково, что тела стараются остановиться сами по себе, если обладают скоростью, т.е. особое значение придавалось состоянию покоя.

Но движение (и его характеристика - скорость) являются относительными, поэтому тело, которое останавливается относительно одних тел отсчета, продолжает двигаться относительно других тел отсчета. Как можно отдать предпочтение одним телам отсчета перед другими?

Признание факта самостоятельной остановки предполагает, что существует некая система отсчета, уникальная и единственная, относительно которой все тела стараются остановиться сами собой.

Например, пусть по ровной поверхности движется тело. Оно предоставлено само себе и постепенно останавливается по причине всеобщей остановки тел. Но представьте себе, что в это время сама ровная поверхность является верхней частью тележки и движется с постоянной скоростью относительно Земли. Почему тогда тело на поверхности тележки не останавливается относительно Земли, т.е. не движется относительно поверхности?

Можно возразить, что остановке относительно Земли препятствует взаимодействие тела с тележкой, но как тогда обнаружить факт остановки тела вызванный именно самопроизвольной остановкой, а не взаимодействием с поверхностью? Очень трудно экспериментально было бы обнаружить такую единственную систему, относительно которой все тела сами собой останавливаются.

Давайте тогда отрицать этот принцип самопроизвольной остановки именно по причине отсутствия доказательств существования такой самопроизвольной остановки. Отрицание этого принципа приводит нас к тому, что при изучении изменения характера движения, состояние покоя является не каким-то особым состоянием движения, а частным случаем равномерного и прямолинейного движения, случаем отсутствия изменения скорости. Это не противоречит определению движения, т.к. скорость в одной системе отсчета не равна скорости в другой системе.

6. Сохранение импульса.

Из третьего закона Ньютона следует равенство сил, с которыми тела действуют друг на друга, а из второго закона Ньютона и из того, что время, когда тела взаимодействуют, равно для обоих тел, следует, что импульсы обоих тел изменяются одинаково.

Рассмотрим предыдущий случай, когда на поверхность неподвижной опоры массой М попадает движущееся с начальным импульсом тело массы m, после чего, тело m начинает двигаться по опоре М с трением.

Можно записать: , , , , т.е. импульс до и после взаимодействия сохранился.

В случае, если тела произвольным образом взаимодействуют и после этого движутся раздельно, то подобные рассуждения приводят к тому, что сумма импульсов до взаимодействия равна сумме импульсов после взаимодействия.

Аналогичные рассуждения можно провести для системы из нескольких тел. Говорят, что из законов Ньютона следует, что суммарный импульс замкнутой системы, системы, на которую не действуют внешние силы, есть величина постоянная.

Например, если лежащий на земле снаряд, имеющий импульс равный нулю, взорвался, то суммарный импульс всех его осколков равен нулю. Этот пример будет более понятен после ознакомления с энергией.

2. Разные формы единого.

1. Энергия: теплота и движение.

Опыт показывает, что разные вещества умеют превращаться друг в друга. Первыми были обнаружены химические превращения. Уже тогда люди догадывались, что существует универсальные кирпичики, из которых состоит вещество, которые, разным образом соединяясь между собой, образуют те или иные сложные вещества. Этими элементами были атомы.

Затем были открыты и ядерные превращения, при которых одни атомы превращались в другие, поэтому был сделан вывод, что есть и более мелкие элементарные основы вещества, чем атом. Изучение этих мелких основ показало поразительные результаты.

Оказывается, элементарные частицы, из которых состоит атом, не являются в принципе частицами, т.е. маленькими кусочками вещества с какими-то особыми свойствами. В общем, не вдаваясь в подробности, можно сказать, что элементарную частицу нельзя запереть в идеальную непроницаемую коробочку и в принципе измерить ее массу, координаты и определить ее геометрические размеры по той простой причине, что такими свойствами она не обладает. Довольно трудно себе представить частицу вещества, у которой нет размера или координаты и лишь в больших количествах такие частицы ведут себя привычным для нас образом.

Элементарные частицы являются чем-то таким, для чего не существует хороших аналогий в мире привычных для нас размеров и для их описания приходится использовать разные допущения и специфические физические модели, которые не используются ни для каких тел в привычном для нас мире. Возможно, что элементарные частицы будут также хорошо изучены, как атомы и будет найдена их первооснова, но для нас интересно другое.

Все экспериментальные факты превращений веществ говорят о том, что все вещества имеют некоторую универсальную для всех веществ первооснову, "нечто", которое, различным образом объединяясь в устойчивые во времени комбинации, обладая разными устойчивыми формами, образует весь известный нам мир и весь наш мир есть многообразие устойчивых форм этого самого "нечто". Это "нечто" называют энергией.

Опыт показывает, что энергия проявляется себя не только в виде вещества, имеет форму не только вещества и является не только некой мельчайшей частицей. Энергия является мерой некоторой единой основы всего существующего в реальности. Это утверждение о единой основе всего сущего поясним следующим мысленным экспериментом.

Создадим замкнутую систему, т.е. такую систему, влияние на тела которой со стороны других тел очень незначительное. Для этого положим в плотно закрытую колбу спичку, которая может гореть без доступа воздуха или даже обычную спичку и устройство, способное ее поджечь. Зажжем. Через некоторое время спичка погаснет.

Можно будет установить, что при горении изменится не только химический состав веществ, но и давление газа и температура веществ, но в закрытую колбу не попадает ничего из окружающего мира. Значит, эта температура уже в каком-то ином виде была запасена в веществах до горения.

Так как вещества не имели повышенной температуры, значит температура появилась из того же, из чего состоит вещество, причиной такого результата может быть факт того, что энергия, составляющая вещества до горения, после химической реакции частично сохранила старую устойчивую форму в виде вещества, а частично образовала новую устойчивую форму в виде теплоты, которую можно обнаружить по изменению температуры.

Другие подобные опыты с разными способами создания замкнутых систем показывают, что энергия имеет не только форму вещества, но и такую устойчивую форму, как теплота. Но только ли этими двумя формами ограничивается энергия?

Проведем следующий эксперимент. Есть два металлических стакана с водой. Есть один и тот же процесс быстрого сгорания горючей смеси под поршнем в цилиндре двигателя. Построим две идентичные системы в виде поставленного на поршень стакана.

В одной системе, позволим поршню после сгорания смеси долго двигаться свободно, в другой его жестко скрепим с цилиндром с помощью винтов. Затем сожжем смесь по каждым поршнем одновременно.

Чем отличаются эти системы до опыта? Вкрученными винтами, которые определяют способ изменения состояния системы после сгорания смеси. Чем отличаются эти системы после опыта? В первом случае один стакан разгонится до 10 км/ч., а во втором нагреется до 10 градусов по некоторой шкале.

Общее изменение состояния горючей смеси в обоих случаях, по сути, абсолютно идентично, а общее состояние систем различается в зависимости от процесса изменения этого состояния, эти две системы изменят свое состояние идентично, с точностью до движения поршня после сгорания смеси.

Этот опыт показывает, что существует еще одна устойчивая форма энергии, которая выглядит как движение. Факт того, что движущемуся телу можно приписать энергию (она называется кинетической), известен многим, но не все представляют себе то, что движущееся тело по своей сути сродни, например, нагретому телу и отличается от него только формой своей энергии.

Это утверждение о реально существующих разных формах энергии находится в резком противоречии с бытовым пониманием энергии, когда некоторые ее формы выглядят искусственно введенными только для расчета, как не имеющие реальной физической основы.

Общеприняты разные названия: энергия в форме движения называется кинетической, а процесс изменения положения тела относительно тел отсчета называется движением; но, по сути, это "изменение положения" и есть форма энергии.

2. Другие виды энергии.

Обнаружив такую неожиданную форму энергии, имеющую физическую основу, как движение, можно задать вопрос: "а нет ли еще и иных форм энергии, которых в случайно взятых экспериментах мы не обнаружили"?

Из того, что мы уже выяснили, нет причин, которые бы заставили предполагать то, что форма энергии вообще может быть чем-либо ограничена. Вероятно, что форма энергии определяется способом изменения исходного устойчивого состояния и окружающими условиями. Вероятно, что не существует каких-либо ограничений на всевозможные процессы преобразования одной формы энергии в другую.

Следует ли тогда, что существуют невидимые хроноволны или торсионные поля? О том, что существует какая-либо форма энергии, можно узнать из ее воздействия на пробные тела, из эксперимента.

Если воздействия нет, то нет и формы энергии, если воздействие есть, то можно составить ее физическую и математическую модель на основании опытных данных, как и предполагает научный метод анализа окружающего. Неподтверждаемых же гипотез или предвзятых мнений может быть сколько угодно.

Почему же есть только одни формы энергии, и нет каких-либо иных, если их вариации ничем не ограничены? На этот вопрос нет ответа, так как природа этого самого нечто, которое принимает различные формы, мерой которого служит энергия, крайне загадочна и затруднено формальное описание на сколь-нибудь подтверждаемых основаниях.

На вопрос, почему силы в природе ведут себя так, а не иначе, затруднительно ответить, имея в распоряжении только результаты действий сил, можно только описать, как именно они себя ведут в тех или иных условиях. Необходимо описать условия, при которых единое нечто, способное к произвольным свойствам, проявляет себя скорее так, а не иначе.

На настоящий момент, модель реальности, описывающая конкретную форму энергии, не должна претендовать на описывающую основы основ и препятствовать нахождению новых форм энергии.

Из соображений того, что все объекты представляют собой одну из устойчивых форм энергии, а все события с ними есть переход энергии из одной формы в другую, наиболее благоприятную для данных условий, никак не следует, что число устойчивых форм и процессов перехода хоть как-нибудь ограниченно, т.к. число процессов энергетических превращений может быть сколь угодно большим.

3. Сохранение энергии.

Говоря о формах энергии, мы утверждали, что она может преобразовываться из одной формы в другую, рассмотрели несколько процессов преобразования одной формы энергии в другую. Но как изменяется общее количество энергии в системе?

Говорят, что система является замкнутой для некоторой формы энергии, если количество этой энергии с течением времени не изменяется. Мы вполне можем теоретически вообразить себе такую систему, подобно тому, как уже теоретически представляли себе инерциальную систему отсчета. Опыт показывает, что многие реальные системы при заданных физически однородных интервалах изменения величин можно считать замкнутыми.

Примером замкнутой для сохранения массы тела является система в виде камня, положенного в ящик. Вполне возможно, что если взять идеальный непроницаемый ни для чего ящик и положить в него камень, то через много-много лет, камень испарится в никуда. Но экспериментально это еще никому не удалось доказать, более того опыт показывает совсем обратное.

Можно представить себе систему, которая замкнута для всех возможных видов энергии. Из философских соображений, такая система существует, т.к. если взять и зачерпнуть ложкой некоторое количество нечто, положить его в абсолютно непроницаемый ящик, то как бы не изменялись условия и в какие бы от этого шарики это нечто в коробочке не сворачивалось, его общее количество не изменится.

4. Скорость и импульс как мера энергии.

Рассмотрим такую форму энергии, как движение, что может служить мерой такой формы энергии? Может ли такой мерой быть скорость, характеристика движения?

Количество энергии можно оценить по тому, как она превращается из одной формы в другую. В этом случае можно говорить, что энергии в системе было не меньше, чем превратилось из одной формы в другую.

Мы уже выяснили, что импульс тела определяет время, в течение которого одно тело может воздействовать на другое с некоторой средней силой. Такой силой может быть, например, сила трения. Качественно из опыта известно, что чем дольше действует сила трения, тем большее количества тепла будет выделено, с помощью длительного трения древние даже добывали огонь.

Значит тело с большой массой, затратив весь свой импульс на трение, выделит больше тепла, чем, тело с меньшей массой, двигаясь с той же скоростью V. По этой причине скорость не может являться мерой энергии в форме движения. Может ли такой мерой быть импульс?

Изучая движение тележек на опыте, мы обнаружили, что масса и скорость вносят равный вклад в то, сколько времени будет воздействовать тело. Вносит ли масса и скорость вклад в энергию таким же образом?

Рассматривая вопрос о сохранении импульса, мы использовали случай, когда два тела после взаимодействия двигаются вместе, как одно целое. За время выравнивания скоростей, верхнее тело двигается по нижнему с трением, значит выделяется тепло. Но импульсы каждого из тел изменяются так, что начальный импульс равен импульсу совместно двигающихся тел после их взаимодействия.

Легко представить к чему это приводит - потери энергии на тепло при выравнивании скоростей не фиксируются с помощью импульса. Пусть верхнее тело одно и оба тела вместе в конце движения могут тормозиться с помощью одной и той же силы трения, наподобие того, как мы добавляли свободно катящиеся тележки, изучая импульс, тогда время действия силы трения и, значит, выделившееся тепло, зависит только от значения импульса, который сохраняется.

Тогда имея в начальный момент количество энергии в виде начального импульса верхнего тела, в конечный момент количество энергии, которое перейдет в тепло, будет различаться в зависимости от того, только ли верхнее тело примет участие в движении, либо будет взаимодействие верхнего и нижнего тела, после которого они будут двигаться вместе, сохранив начальный импульс.

Здесь можно возразить, что мы не проводили опыт и не изучали то, как количественно зависит количество тепла от силы трения, возможно, что играет роль ускорение, с которым двигается тело при трении, и в обоих случаях количество тепла реально выделится одинаково.

Но главное, что даже в этом случае, зная только значения импульса до и после неизвестного взаимодействия нельзя сказать, сколько тепла при этом выделилось и выделилось ли оно вообще, количественное значение импульса не отражает переход энергии их одной формы в другую, т.к. значение импульса не изменяется и не зависит от выделения этого тепла.

Ясно, что импульс уже не может служить количественной мерой энергии, т.к. его значение не отражает переходы энергии из формы движения даже в такую форму, как тепло. Вероятно, что масса и скорость по-разному вносят вклад в количество энергии движущегося тела.

5. Мера энергии.

Вспомним наш опыт с горкой, мы брали разные шарики и они приобретали некоторую скорость после скатывания с ней. Давайте рассмотрим этот опыт еще раз. В начальный момент времени шарик не движется и находится на вершине горки. После скатывания с горки, по ровной горизонтальной поверхности шарик движется равномерно и прямолинейно со скоростью V.

В опыте возникла такая форма энергии, как движение, значит до этого, такое же количество энергии было запасено в системе в какой-то иной ее форме. Эту форму энергии, которую имеет тело, поднятое над землей, называют потенциальной энергией поля тяготения земли. Что такое поле мы рассмотрим далее, а пока будем коротко называть эту форму потенциальной энергией.

Нарисовав наклонную плоскость и рассмотрев движение шарика по ней при действии только силы тяжести, мы увидим, что квадрат скорости V в начале горизонтального участка пути пропорционален высоте шарика h над горизонтальной плоскостью, а именно: (*). Потенциальная энергия зависит от высоты h поднятия тела над нашей горизонтальной плоскостью, но нет никаких причин считать, что эта зависимость должна быть линейной.

Это выражение (*) не зависит от массы, но если мы домножим слева и справа на массу тела, то получим или или (**).

Можно заметить, что выражение в левой части пропорционально пути, который будет пройден телом при действии некоторой силы, в данном случае, силы тяжести, подобно тому, как импульс пропорционален времени, в течение которого будет двигаться тело при действии некоторой силы.

Предположим, что произведение может служить мерой энергии в форме движения, значит оно должно сохранять значение при неизменности энергии и изменять значение при переходе энергии из одной формы в другую.

Рассмотрим предыдущий случай с сохранением импульса. Сохранение импульса выглядит как , выразим отсюда V и затем запишем произведение через скорость U:

, а .

Последнее выражение отличается от , которое должно было бы получиться, если бы энергия в форме движения в этом взаимодействии сохранялась, но мы уже знаем, что она не сохраняется в этой форме, частично переходит в тепло, поэтому запишем выражение полной энергии после взаимодействия, как сумму энергии в форме движения и энергии в форме теплоты Q, пока неизвестно как выражающейся через массы и скорости:

, отсюда .

Качественно вид теплоты Q выглядит правдоподобно, при попытках увеличивать и уменьшать M, m или U.

Таким образом, возможная мера энергии в виде хорошо характеризует переход энергии в форме движения в потенциальную форму, и с другой стороны, позволяет обнаружить переход части энергии в форме движения в теплоту в рассмотренном варианте сохранения импульса.

Мы пока не будем заниматься изысканиями иных мер энергии, в которые входят масса и скорость различным образом и выяснять, могут ли они служить такой цели, т.к. возможная мера в виде интересна тем, что в правой части (**) стоит сила и путь, что удобно для расчета и использования.

Заметим, что выражение при равноускоренном движении, когда , превращается в произведение силы, которая действует на тело, на такой путь , который прошло бы это тело при действии этой силы, если бы тело имело нулевую начальную скорость, т.е.

. (***)

Значит, если скорость тела изменилась произвольным образом на =, то справедливо выражение (***), которое показывает, что действие силы по изменению скорости не зависит от скорости, с которой уже движется тело. Тоже самое показывает и импульс, который связывает изменение скорости тела только со временем действия некоторой силы, независимо от начальной скорости.

Но изменение энергии, т.к. скорость в стоит в квадрате, зависит от скорости, с которой уже движется тело. Рассмотрим, во что превращается само по себе выражение при равноускоренном движении:

, т.е.

. (****)

Таким образом, энергию в некоторый момент времени можно представить как сумму начальной энергии и приращения энер-гии в виде произведения силы, которая действует на тело, на путь , пройденный этим телом под действием силы.

Из (***) и (****) можно сделать вывод, что одна и та же сила, действующая на два разных тела так, что скорость этих тел из-менилась на одинаковую величину , для более быстро движущегося тела дает большее приращение энергии, но участки пути, на которых действует сила и которые эквивалентны с точки зрения величины изменения на них скорости, разные по значению.

Эти частные опыты показывают, что произведение имеет особое значение, подобно тому, как мы на частных опытах обнаружили, что произведение mV имеет особые свойства. Они показывают, что для любых форм энергии, обмен любым количеством энергии между которыми может быть выражен с помощью силы, изменяющей форму энергии, действующей на тело на некотором участке пути, может быть использована мера в виде выражения (***).

Еще интересно то, что импульс mV и энергия связаны между собой интегро-дифференциальными соотношениями, но не по отношению ко времени, а по отношению к скорости, т.е. импульс можно рассматривать как скорость изменения энергии по отношению к единице обычной скорости (скорости изменения пути по отношению к единице времени), что говорит, как и видно из выражения (**), о неравном вкладе, который масса и скорость вносят в количество энергии в форме движения.

Как и в случае третьего закона Ньютона, мы принимаем в качестве меры энергии по методу индукции, обобщая на все еще необнаруженные формы энергии эти рассмотренные частные случаи. Из того, что нам уже известно, мы, видимо, не сможем обнаружить какое-то более общее объяснение верности или единственности именно такой меры энергии.

Применение именно такой меры энергии является гипотезой, подтвержденной на опыте и если появятся опытные или теоретические данные, которые укажут, что имеют место какие-то другие меры энергии, то наша мера энергии уже не может быть в этих случаях использована.

Единицей такой меры энергии в виде в системе СИ служит Джоуль (Дж). Его связь с иными единицами можно выяснить из выражения (**).

6. Изменение энергии: теплопередача и работа.

Рассмотрим еще раз прежние виды энергии, т.е. теплоту и движение. Процесс изменения энергии в форме движения называется работой, а процесс изменения энергии в форме теплоты называется теплопередачей. Говорят, что в процессе работы происходит изменение упорядоченного движения частиц тела, а в процессе теплопередаче беспорядочного. Интересно, что в этом проявляется сходство тепла и движения, и то и другое есть движение частиц тела.

Разумеется, представление тепла в виде беспорядочного движения частиц тела это одна из физических моделей реальности. Впрочем, мы уже увидели, что многие, даже самые элементарные, законы природы, т.е. физические и математические модели некоторых свойств реальности, являются обобщением частных экспериментальных фактов и индуктивным распространением этих закономерностей на все возможные факты, на общий случай.

Утверждать, что этими законами покрывается все множество существующих проявлений реальности, просто нет никаких оснований, как и нет оснований утверждать, что это не так. Лучше всего сказать, что мы не знаем.

Мера изменения энергии в процессе теплопередачи называется теплотой, а вот мера изменения энергии в процессе работы почему-то тоже называется работой. С теплотой связана температура, и изменение теплоты можно обнаружить с помощью прибора, который измеряет температуру, термометра. С работой, понятно, связано изменение скорости движения тела.

Количество энергии в замкнутых системах, по определению энергии и замкнутой системы так, как мы его дали, сохраняется. Значит, если один из видов энергии в замкнутой системе исчез, то появился иной вид энергии.

Рассмотрим движение шарика без трения и сопротивления воздуха, который скатывается с горки, движется по ровной поверхности и поднимается на вторую горку. Можно рассмотреть и движение тела, подвешенного на нити в таких же условиях. В обоих этих случаях, в самых верхних точках скорость тел равна нулю, а в самых нижних она максимальна, энергия перекачивается из одной формы в другую, из потенциальной в кинетическую и обратно, а ее общее количество сохраняется.

В этих примерах на тела действуют силы, но эти силы можно назвать внутренними силами системы, но представим себе, что от действия некоторых сил количество энергии в системе изменяется. Такие силы называются сторонними.

Например, мы подтолкнули шарик во время его движения по ровной поверхности. Увеличение общего количества энергии в системе можно найти по выражению (****). Это выражение часто используют как закон сохранения энергии в общем случае, который звучит примерно так: изменение энергии системы равно работе сторонних сил.

Также используют такую величину, как мощность, которая равна изменению энергии в единицу времени, единицей измерения мощности в СИ является Ватт (Вт).

3. Поле.

Можно встретить утверждение, что поле это особая форма материи. У многих это определение вызывает недоумение, т.к. им не очень понятны следствия из него. По этому дадим иное определение поля.

Поле – способ описания некоторого воздействия на тело. Существование поля можно обнаружить по его силовому действию на пробные (взятые для пробы, изучения поля) тела. Силовое действие поля просто означает, что на пробное тело начинает действовать сила. Таким образом, если на тело действует сила тяжести, значит это действие на тело со стороны Земли можно описать с помощью поля, которое называется гравитационным или полем тяготения.

Источник, который создает поле, действует на разные тела с разной силой, которая, как мы знаем, вблизи Земли пропорционально массе (F=mg). Сила, которая действует на тело единичной массы называется напряженностью поля (не путать с напряжением), это силовая характеристика поля.

Источники других видов полей могут иметь силу, которая действует на тело, значение которой зависит от иных параметров тела, не от массы. Сила, которая действует на тело, имеющее эти иные параметры равные единице, тоже является напряженностью.

Поле описывают с помощью значений его напряженности во всех точках пространства. Графически поле удобно отображать с помощью силовых линий, направление которых совпадает с направлением напряженности, а количество пропорционально модулю напряженности.

Для поля тяжести вблизи земли напряженность всюду одинакова и направление силовых линий направлено в землю, но известны такие взаимодействия между телами, которые описываются полями, где напряженность убывает обратно пропорционально расстоянию или квадрату расстояния от некоторой точки.

Мы уже выяснили, что в поле тяжести, неподвижное, поднятое над землей тело имеет некоторую потенциальную энергию, которая зависит от высоты h. Существует еще и энергетическая характеристика поля, которая называется потенциалом и которая связана с этой потенциальной энергией. Нам пока это не интересно.

Что касается материальности поля, то из того, что уже сказано, она не очень ясна. Все дело в том, что существует две теории взаимодействий тел. Одна из них называется теорией дальнодействия и заключается в том, что взаимодействия между телами передаются мгновенно, другая же называется теорией близкодействия, которая утверждает, что взаимодействия передаются с некоторой конечной скоростью.

Из теории близкодействия следует, что если скорость достаточно мала, а расстояние достаточно велико, то существует время, в течение которого изменение состояния одного тела не отражается на другом. Это можно описывать так, как если бы возмущение от тела было передано некоторой реальной субстанции, т.е. полю, а затем поле передало возмущение удаленному телу, наподобие распространения волны. Нам пока это не интересно тоже.

4. Что дальше.

Того, что мы уже узнали, вполне достаточно, чтобы начать самостоятельно решать физические задачи, составлять модели и начать применять научный метод. Для решения физических задач может понадобиться ознакомиться с дополнительными стандартными моделями, но метод ознакомления должен быть уже понятен.

В следующей части мы, помимо стандартных моделей, будем заниматься использованием научного метода и составлением специальных физических и математических моделей для физических задач, попробуем не превратить это в разгадывание кроссвордов или ребусов, бесполезное для изучения научного метода.

Основная ценность научного метода в том, что он учит думать, получать новые знания и встраивать их в систему уже существующих знаний, а не является перечислением каких то частных особых случаев. Зная физический принцип и научный метод, можно решать большое множество задач, которые различаются небольшими вариациями или поставлены неожиданным образом.

Для подробного изучения существующих методов анализа реальности, будь то оценка погрешностей или подготовка эксперимента, обработка данных эксперимента и прочие вопросы, надо изучать специальную литературу.

Одной из главных целей этой работы было привлечение внимания молодого читателя к тому, что скрыто за чередой формул. А затем, может быть в будущем, читатель заинтересуется и человеческим обществом, сможет подойти к решению вопроса о том, как сделать наш мир более пригодным для людей, исходя их того, что хорошо лучше, чем плохо.

Если заинтересуется, то уже не раз было обращено внимание на то, что реальный мир и то, что человек о нем думает, это не одно и тоже, реальность может оказаться очень непохожа на то, какой она выглядит. Поэтому хочется сразу предостеречь от попыток решить эту проблему, описав ее в терминах языков, на которых говорят люди и платьев, которые они носят.

Системы живых организмов функционируют по сложным законам, демонстрируют неожиданное поведение и не всегда хотят, чтобы их изучали. Надо учесть то, чему должно общество соответствовать, какие методы его изменения применять нельзя; хорошо описать реально существующие силы, действующие в обществе, их интересы и слабые места.

Также не менее важно, что в этом случае сам изучающий является частью изучаемой системы и сам подвержен силам, действующим в ней, т.е. для результата анализа имеет значение и подход изучающего к вопросу. Многие недостатки анализа связаны с самим экспериментатором: с его убеждениями, образом жизни и образом мыслей; все это существенно влияет на результат.

В принципе, экспериментатору исправить недостатки анализа, связанные с ним самим, крайне трудно. Ему необходимо учесть все причины, влияющие на его логические выводы: его предвзятые привычки, реальные причины его поведения и все остальные, связанные с ним самим, возможные ошибки и их последствия.

Для этого надо понять, какие простые человеческие качества лежат в основе всего своего сложного поведения, это может оказаться не так то легко, а один простой недостаток лавиной порождает последствия в выводах. Может быть, придется прежде разобраться с самим собой, стать достаточно хорошим человеком, чтобы не подвергаться воздействию окружающего и получить хороший результат.

Затем необходимо исправить все причины, влияющие на логические выводы: не искать легких путей; не руководствоваться желаниями, природу которых одобрить нельзя, независимо от их кажущейся рациональности или удобности; не быть самовлюбленным и признать сам факт недостатков и т.п.

Хорошо известно, что процесс изучения, как и любая целенаправленная деятельность, это весьма трудная задача, ее можно даже сравнить с занятием спортом. Никак этих трудностей избежать нельзя, они могут даже служить некоторым признаком правильных действий, хотя это не достаточно и не всегда необходимо.

Вот какое интересное описание процесса мышления в особо трудных условиях я нашел у Варлама Шаламова в его "Колымских рассказах", в рассказе "Сгущенное молоко": "Думать было нелегко. Это был какой-то физический процесс — материальность нашей психики впервые представала мне во всей наглядности, во всей ощутимости. Думать было больно. Но думать было надо".

Многие люди в принципе не против, чтобы все было хорошо, но это слишком поверхностное желание, так как для действительной реализации такого желания в жизни иногда приходится делать выбор между несколькими действиями, при котором мы что-то теряем: удобства, время, богатство и т.п. Часто люди ради очень ненужных вещей поступают некрасиво, т.к. либо совсем не задумываются над своими действиями, либо умышленно отвергают хорошее.

В этих случаях становится ясно, что общепризнанные законы морали, ограничивающие все возможные действия, как раз помогают в такую сложную минуту принимать правильные решения и получить правильный результат, когда требуется выбирать между несколькими неприятностями, а ожидаемые потери, которые кажутся невообразимо огромными, через некоторый промежуток времени не будут таковыми.

Давайте приступим.

Следующая часть
ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ

Хостинг от uCoz